Integrar el multinomio sobre un hipercubo

Question

Me he encontrado con una integral de la forma $$\int_{b}^{a}\cdots\int_{b}^{a} \left( \sum_{i=1}^{n}x_i\right)^mdx_1d x_2\dots dx_n.$$ Tengo una solución que hace uso del función de partición Pero creo que debería haber una solución mucho más agradable y estoy seguro de que esto se ha visto antes. ¿Alguien conoce una referencia?

Motivación: Esta integral ha aparecido al intentar calcular los momentos de la célula de Voronoi de la red $A_n$ (véase la página 462 de Embalajes de esferas, retículos y grupos )

Answer 1

Queremos el coeficiente de $t^m/m!$ en $$ \int_b^a\cdots \int_b^a e^{(x_1+\cdots+x_n)t}dx_1\dots dx_n = \left(\frac{e^{at}-e^{bt}}{t}\right)^n. $$ Expandiendo por el teorema del binomio y luego tomando el coeficiente de $t^m/m!$ de cada término dará una fórmula.