Pregunta sobre el sub-anillo y el campo en $\mathbb{Z}_{10}$ .

Question

El conjunto $R= [0],[2],[4],[6],[8]$ es un subanillo de $\mathbb{Z}_{10}$ demostrar que $R$ tiene unidad y que $R$ es un campo.

Encuentro esto un poco impar pero creo que $[6]$ es la unidad frente a la convencional $[1]$ . También estoy bastante perdido en probar que esto es un campo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Pistas:

$$2\cdot 6=1\color{red}2\;,\;\;4\cdot 6=2\color{red} 4\,,\ldots etc.$$

Tiene la cantidad correcta de elementos para un campo ( $\,5=\,$ un primo) , por lo que sólo hay que comprobar si hay divisores cero no triviales... y esto es casi trivial de demostrar.

Answer 2

La definición de un campo es un anillo conmutativo con inversos para todos los elementos no nulos. Así que tienes unos cuantos pasos:

• Demuestra que esto es un anillo. Parece que se le permite asumir esto, desde la descripción del problema.

• Demuestra que es conmutativo. En realidad, ni siquiera es necesario hacerlo: se trata de una multiplicación de números enteros y, por tanto, es automáticamente conmutativa.

• Identidad: La eliminación de casos es burda pero debería funcionar (es decir, [2] * [6] = [12] = [2], por lo que [6] es una identidad para [2]).

• Inversos: Una vez que demuestre que [6] es una identidad, puede tomar el mismo enfoque aquí para mostrar los inversos, es decir, [4] * [4] = [6] por lo que [4] tiene a sí mismo para un inverso.

Answer 3

Puedes intentar demostrar que es isomorfo a $\mathbb{Z}_5$ que es un campo ya que 5 es primo.