¿Tienen los números reales y los complejos la misma cardinalidad?

Question

Así que es fácil demostrar que los racionales y los enteros tienen el mismo tamaño, utilizando la espiral favorita de todos.

¿Se puede ampliar el planteamiento para decir que el conjunto de los números complejos tiene la misma cardinalidad que los reales?

Answer 1

Sí.

$$|\mathbb R|=2^{\aleph_0}; |\mathbb C|=|\mathbb{R\times R}|=|\mathbb R|^2.$$

Lo hemos hecho si es así:

$$|\mathbb C|=|\mathbb R|^2 =(2^{\aleph_0})^2 = 2^{\aleph_0\cdot 2}=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$$

Si se desea escribir una función explícita, se puede utilizar una función de $\mathbb{N\times 2\to N}$ y combinarlo con una biyección entre $2^\mathbb N$ y $\mathbb R$ .

Answer 2

Por supuesto. Lo mostraré en números en $[0,1)$ y $[0,1)\times[0,1)$ . Considere $z=x+iy$ con $x=0.x_1x_2x_3\ldots$ y $y=0.y_1y_2y_3\ldots$ sus expansiones decimales (las estándar, codiciosas y sin $9^\omega$ como sufijo). Entonces el número $f(z)=0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\ldots$ es real y este mapa es claramente inyectivo en los conjuntos mencionados. La generalización al conjunto $\mathbb C$ es sencillo. Esto da $\#\mathbb C\leq\#\mathbb R$ . lo contrario es obvio.

Answer 3

Consulte el número 4b en http://faculty.lasierra.edu/~jvanderw/clases/m415a03/hw8ans.pdf .

Una biyección directa $B : \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{C}$ es: $B(a,b) = a + bi$ . Omitiré la verificación de la inyectabilidad y la subjetividad. Entonces $|C| = |\mathbb{R^2}|$ . El resultado separado que $|\mathbb{R^k}| = |\mathbb{R}| \; \forall \; k \in \mathbb{N}$ implica $|\mathbb{R^2}| = |\mathbb{R}|$ . En conjunto, $|C| = |\mathbb{R^2}| = |\mathbb{R}|$ .

Answer 4

Una clase particularmente agradable de biyecciones de $\Bbb R$ a $\Bbb C = \Bbb R^2$ que, en mi opinión, es un poco similar a la espiral alrededor de la rejilla, viene dada por la curvas que llenan el espacio .