¿Infinitos pares de primos?

Question

Hola. Quiero saber cuántos pares de primos (infinitos) se conocen.

Por conveniencia, permítanme dar dos definiciones.

Para cualquier polinomio no constante $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ , defina $A_{f}=\lbrace f(p) \in \mathbb{Z}|$ Ambos $p,f(p)$ son primos $\rbrace$ .

Además, defina $P=\lbrace f(x)\in \mathbb{Z}[x] | |A_f|=\infty\rbrace$ , donde $|A|$ es la cardinalidad del conjunto $A$ .

Permítanme dar algunos ejemplos. Si $f(x)=x$ , entonces es (trivial) pares primos. (es decir, $f(x)=x \in P$ )

Si $f(x)=x+2$ entonces el caso es que la famosa conjetura de los primos gemelos. (es decir, la conjetura del primo gemelo equivale a determinar que $f(x)=x+2$ está en $P$ o no).

También he oído que el caso de $f(x)=4x+1$ también es una (famosa) conjetura.

Mi pregunta es si hay algún polinomio no trivial que esté en $P$ ?

Answer 1

Como caso especial de la hipótesis H de Schinzel (un conocido problema abierto) si $f(x)$ es irreducible, tiene coeficiente principal positivo y no tiene "divisor fijo", entonces $f(x)$ debería estar en lo que usted llama $P$ . Pero no se ha demostrado nada de esto y estoy seguro de que ni un solo polinomio (que no sea $x$ ) se ha demostrado que está en lo que usted llama $P$ . Para los polinomios de grado al menos dos, es aún peor, no hay ningún polinomio que se haya demostrado que tome valores primos en infinitos enteros (y mucho menos primos).

http://en.wikipedia.org/wiki/Schinzel%27s_hypothesis_H