Paquete universal sobre $\mathbb P^{n}$ y la suma directa de paquetes

Question

Dejemos que $T(\mathbb{R}P^{n})$ sea un haz tangente a un $n$ -espacio proyectivo de dimensiones y dejemos que también denote $\gamma_{1}$ para ser un haz trivial de rango $1$ .

Además, dejemos que $E \rightarrow \mathbb{R}P^{n}$ sea un haz universal (tautológico).

Me gustaría demostrar que $$T(\mathbb{R} P^{n}) \oplus \gamma_{1} = E \oplus E \oplus \ldots E = \bigoplus_{i=1}^{n} E$$

Por un lado, puede parecer que se desprende de la existencia de la secuencia exacta de Euler de las láminas, escrita de la siguiente manera: $$ 0 \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}} \rightarrow \mathcal{O}(1)^{\oplus (n+1)} \rightarrow \mathcal{T}_{\mathbb{P}^{n}} \rightarrow 0$$ Se puede demostrar que esta secuencia se divide (aunque no canónicamente).

¿Hay alguna manera de derivar el enunciado de la proposición anterior o hay alguna manera más fácil de obtener el resultado deseado (tal vez, tirando hacia atrás el $T(\mathbb{R}P^{n})$ a través de $f: S^{n} \rightarrow RP^{n}$ ?)

Answer 1

Es bien sabido (y no es difícil de probar) que $T\mathbb{R}P^n \cong \text{Hom}(\gamma, \gamma^{\perp})$ donde $\gamma$ es el haz de líneas tautológico. Obsérvese que $\text{Hom}(\gamma, \gamma)$ es un haz de líneas trivial, y sumándolo con $T\mathbb{R}P^n$ obtenemos $\text{Hom}(\gamma, \gamma \oplus \gamma^\perp)$ . Desde $\gamma \oplus \gamma^\perp$ es trivial, el resultado se deduce del hecho de que, para un haz de líneas trivial $\epsilon$ hay un isomorfismo $\text{Hom}(\gamma, \epsilon) \cong \gamma$ (esto es sólo un decir $\gamma$ es isomorfo a su dual, lo cual es fácil de ver ya que, por ejemplo, admite una métrica).