Verificación de la prueba del teorema sobre $m$ -cola de una secuencia

Question

Demostrar que una secuencia $X=(x_n)$ converge si su $m$ -cola $X_m$ ( $m\in \mathbb N$ ) converge. Para ese caso, $lim X=lim X_m$ .

Prueba :Si $X$ converge a $x$ entonces para un determinado $\varepsilon>0$ , $\exists$ $K\in \mathbb N$ tal que para todo $n \geq K$ , $|x_n-x|<\varepsilon$ . $\forall k \in \mathbb N$ con $k \geq K-m$ tenemos $|x_k-x|<\varepsilon$ para $x_k$ siendo un término en $X_m$ . Así, si tomamos $K_m$ (la elección del número natural para la secuencia $X_m$ ) como el que menos entre $k$ entonces podemos concluir que $X_m$ converge a $x$ .
Si $X_m$ converge a $x$ entonces para un determinado $\varepsilon>0$ , $\exists K \in\mathbb N$ tal que para todo $n \geq K$ , $|x_n-x|<\varepsilon$ para los términos de $X_m$ . Para todos los $h\in \mathbb N$ con $h \geq K+m$ , $|x_h-x|<\varepsilon$ para los términos de $X$ . podemos elegir el número natural necesario para $X$ como $K+m$ para conseguir que $X$ converge a $x$ .

Answer 1

Mi prueba:

Dejemos que $\ X=(x_n)\ $ sea una secuencia real, sea $\ X_m\ (m\in\mathbb{N})\ $ sea una cola m de $\ X,\ $ es decir, $\ X_m=(x_n)_{n\geq m}.\ $ Entonces,

$$X_m\ \text{converges}$$

$$ \iff\ \text{given} \ \varepsilon>0,\ \exists\ M\geq m\geq 1\ \text{such that}\ \vert x-x_n\vert<\varepsilon\quad \forall\ n\geq M\ $$

$$ \iff X=(x_n)_{n\geq1}\ \text{converges.}$$

No estoy seguro de que sean necesarios más detalles, a menos que quieras ser ultra riguroso.