Encontrar la traza de un sistema de forma explícita

Question

Consideremos que estamos trabajando con un sistema conjunto compuesto por el sistema A con base $|\alpha_j\rangle$ y el sistema B con base $|\beta_j\rangle$ .

En mis notas el operador de densidad se denota como sigue:

$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

por lo que mis notas dicen que $$\rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle$$

Además, plantean las siguientes ecuaciones para la Traza de A y la traza de B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m|$$

$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k|$$

Mi pregunta principal es cómo se escribiría $\rho_{j,l,k,l}$ y $\rho_{j,l,j,m}$ explcitly como lo que obtengo no parecen estar de acuerdo con un ejemplo trabajado en mi libro y así estoy bastante confundido.

Gracias

Answer 1

Pues porque si lo hiciera yo mismo lo escribiría de la siguiente manera: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle$ Sin embargo, no estoy seguro porque los ejemplos trabajados que he visto sugieren lo siguiente $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$ .

Parece que no estás entendiendo la idea de un producto tensorial de estados, así que lo revisaré brevemente. Dejemos que $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ sean espacios de Hilbert, y sea $\alpha \in \mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$ . El producto tensorial de $\alpha$ y $\beta$ es el par ordenado $(\alpha,\beta)$ que tiene las siguientes propiedades:

• $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ para todos $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
• $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ para todos $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
• $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ para todos $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$

En lugar de escribir $(\alpha,\beta)$ para el producto tensorial, es una notación estándar escribir $\alpha \otimes \beta$ .

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El producto tensorial de Espacios de Hilbert $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ es el espacio de todos los productos tensoriales de la forma $\alpha\otimes \beta$ con $\alpha\in\mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$ , y todas sus combinaciones lineales . El producto interior en este espacio se toma como

$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$

Por lo tanto, un elemento $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ puede parecer

$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$

De la definición se desprende que $\alpha$ y $\gamma$ pertenecen a $\mathcal H_A$ mientras que $\beta$ y $\delta$ pertenecen a $\mathcal H_B$ . De nuevo, según la convención estándar, reutilizamos el símbolo $\otimes$ y denotar el producto tensorial de los espacios de Hilbert por $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ .

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Si quieres trabajar con la notación de Dirac, entonces puedes escribir algo como $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$ . El sujetador correspondiente sería $\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$ . Si dejamos que $|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$ entonces

$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$

La convención es que tanto si se trata de un sujetador como de un ket, la primera cantidad del producto tensorial pertenece a $\mathcal H_A$ (o su espacio dual) y el segundo pertenece a $\mathcal H_B$ (o su espacio dual).

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Dicho esto, su expresión

$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$

no tiene sentido para mí, porque el producto tensorial ket a la derecha está en el orden equivocado.

Answer 2

En primer lugar, hay que señalar que la forma de entender $\rho_{ijk\ell}$ es ante todo una cuestión de convención. Dicho esto, algunas convenciones son ciertamente más "naturales" que otras.

Una forma de pensar en ello es que los componentes de la matriz de $\rho$ en un espacio compuesto $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$ no son más que eso: componentes de la matriz en algún espacio. Si se utilizan los índices $I,J$ para etiquetar los elementos de una base de $\mathcal H$ se pueden escribir los componentes de la matriz como $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Sin embargo, esta notación no tiene en cuenta la estructura bipartita de $\mathcal H$ . Para ello, observamos que siempre podemos encontrar una base de $\mathcal H$ que se construye a partir de bases de $\mathcal X$ y $\mathcal Y$ . Así, podemos etiquetar los elementos de base de $\mathcal H$ utilizando dos índices, que denotan los correspondientes elementos de base de $\mathcal X$ y $\mathcal Y$ . En otras palabras, podemos escribir $$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Entonces, en lugar de un índice $I$ utilizamos un par de índices, por ejemplo $(i,j)$ . Los elementos de la matriz de $\rho$ entonces se convierten en $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$ donde incluyo diferentes formas equivalentes de escribir la expresión. Observe que escribí los índices de "entrada" y "salida" de $\rho$ utilizando pares $(i,j)$ y $(k,\ell)$ aquí, para subrayar las diferentes funciones que tienen los índices. Por razones de brevedad, no se suele hacer esto, y se escribe simplemente $\rho_{ijk\ell}$ para significar $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$ .

Ahora, también puede decidir utilizar $\rho_{ijk\ell}$ para significar algo así como $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$ . Sin embargo, sería una notación bastante incómoda.