Pues porque si lo hiciera yo mismo lo escribiría de la siguiente manera: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Sin embargo, no estoy seguro porque los ejemplos trabajados que he visto sugieren lo siguiente $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $ .
Parece que no estás entendiendo la idea de un producto tensorial de estados, así que lo revisaré brevemente. Dejemos que $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ sean espacios de Hilbert, y sea $\alpha \in \mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$ . El producto tensorial de $\alpha$ y $\beta$ es el par ordenado $(\alpha,\beta)$ que tiene las siguientes propiedades:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ para todos $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ para todos $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ para todos $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
En lugar de escribir $(\alpha,\beta)$ para el producto tensorial, es una notación estándar escribir $\alpha \otimes \beta$ .
El producto tensorial de Espacios de Hilbert $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ es el espacio de todos los productos tensoriales de la forma $\alpha\otimes \beta$ con $\alpha\in\mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$ , y todas sus combinaciones lineales . El producto interior en este espacio se toma como
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Por lo tanto, un elemento $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ puede parecer
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
De la definición se desprende que $\alpha$ y $\gamma$ pertenecen a $\mathcal H_A$ mientras que $\beta$ y $\delta$ pertenecen a $\mathcal H_B$ . De nuevo, según la convención estándar, reutilizamos el símbolo $\otimes$ y denotar el producto tensorial de los espacios de Hilbert por $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ .
Si quieres trabajar con la notación de Dirac, entonces puedes escribir algo como $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$ . El sujetador correspondiente sería $\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$ . Si dejamos que $|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$ entonces
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
La convención es que tanto si se trata de un sujetador como de un ket, la primera cantidad del producto tensorial pertenece a $\mathcal H_A$ (o su espacio dual) y el segundo pertenece a $\mathcal H_B$ (o su espacio dual).
Dicho esto, su expresión
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
no tiene sentido para mí, porque el producto tensorial ket a la derecha está en el orden equivocado.