Puede $p^{q-1}\equiv 1 \pmod {q^3}$ para los primos $p<q$ ?

Question

Para la primera $q$ puede ser que $$ p^{q-1}\equiv 1 \pmod{q^k} $$ para algún primo $p<q$ y para $k\ge 3$ ?

No parece que haya un caso con $k=3$ y $q<90000$ y también he comprobado las pequeñas soluciones con $3<k\le 20$ y no encontró ninguno.

Si eliminamos la condición $p<q$ entonces siempre hay soluciones, por ejemplo $15441^{16}\equiv 1 \pmod{17^5}$ . También para $k=2$ hay muchos, por ejemplo $71^{330} \equiv 1 \pmod {331^2}$ .

Answer 1

Dejemos que $w>1$ sea un número entero cualquiera y que $q$ sea un primo impar y $w^{q-1}$ $\equiv 1 \pmod {q^3}$ . Sea v una raíz primitiva mod $q^3$ donde $v^h$ $\equiv w \pmod {q^3}$ . Así que $v^{h(q-1)}$ $\equiv 1\pmod {q^3}$ . Por lo tanto, h= $q^2 k$ ; k >= 1. Supongamos que k> 1 , entonces $w^{(q-1)/k}$ $\equiv 1\pmod {q^3}$ ; $v^{q^2 k-k}$ $\equiv(w/v^k) \pmod {q^3}$ Así que $v^{(q^2 k -k)(q^2)}$ $\equiv 1 \pmod {q^3}$ Por lo tanto $(w/v^k)^{q^2}$ $\equiv 1\pmod {q^3}$ . Si el orden de w mod $q^3$ es M entonces dado $(w/v)^{q^2 M} $ $ \equiv 1 \pmod {q^3}$ ; $v^{q^2 M}$ $\equiv 1 \pmod {q^3}$ . Pero esto implica que M = (q-1). Entonces el orden de w mod $q^3$ no es <(q-1) contradicción. Entonces k = 1. Y $v^{q^2}$ $\equiv w \pmod q^3$ . El orden de w mod $q^3$ es (q-1). Si w = p un primo < q entonces $p^{q-1}$ $\equiv 1 \pmod {q^3}$ donde (q-1) es el orden de p. p = (q-v); $(q-v)^q$ $\equiv(q-v)\pmod {q^3}$ . Así que ( $q^2$ $v^{q-1}$ - $v^q$ ) $\equiv(q-v)\pmod {q^3}$ . Por lo tanto, $v^{q-1}$ ( $q^2$ -v) $\equiv (q-v)\pmod{q^3}$ ; $(-v q)\equiv (q^2-v q)\pmod{q^3}$ ; $q^2 \equiv 0 \pmod{q^3}$ Contradicción , por lo que si p < q el orden de p mod $q^3$ no puede ser (q-1)