Prueba de que la MLE de la varianza está sesgada

Question

Estaba leyendo la prueba de Wikipedia de que el estimador de máxima verosimilitud de la varianza está sesgado. Aquí hay una enlace .

Sigo la prueba hasta el último paso. Lo tenemos, $$\sigma^2-E[(\bar{X}-\mu)^2].$$ Observando que $\bar{X}$ es la media de la muestra lo reescribimos como, $$\sigma^2-E\bigg[\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n}\mu\bigg)^2\bigg],$$ pero no veo cómo se deduce que esto es equivalente a $\frac{1}{n}\sigma^2$ .

Answer 1

Recordemos que para algunos v.r. $X$ $$ \operatorname{var}(X) = \mathbb{E}( X - \mathbb{E}[X] ) ^ 2, $$ y $\mathbb{E}\bar{X}_n = \mu$ Por lo tanto $$ \mathbb{E}( \bar{X}_n - \mu ) ^ 2 = \operatorname{var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} . $$