A continuación, trabajamos con categorías aditivas.
Decimos que una categoría es débilmente idempotente completa si todos los epimorfismos que admiten una sección tienen núcleo. Es equivalente a la afirmación dual: todos los monomorfismos que admiten un retracto tienen cokernel.
Una noción más fuerte es la de completo idempotente. Una categoría es idempotente completa si cada morfismo en $\{f:A \rightarrow A \;|\; f^2=f\}$ tiene un núcleo o, lo que es lo mismo, un cokernel. Como sugiere el nombre de estas nociones, una categoría completa idempotente es débilmente idempotente.
Sabemos que una categoría abeliana es completa idempotente.
Tenemos los siguientes ejemplos :
- Consideramos la categoría $K_{vect} ^{ ^{\ge n}}$ de espacios vectoriales sobre un campo $K$ con ningún espacio vectorial no nulo de dimensión menor que $n$ . Entonces $K_{vect} ^{\ge n}$ no es débilmente idempotente completa ya que la proyección trivial $K^{n+1} \twoheadrightarrow K^n$ tiene una sección pero no un núcleo.
- Consideramos la categoría $K_{vect} ^ {^{\equiv 0 [2]}}$ de espacios vectoriales sobre un campo $K$ con dimensión de par o dimensión infinita. Entonces $K_{vect} ^ {^{\equiv 0 [2]}}$ es débilmente idempotente y completa. Pero no es idempotente completa ya que el proyector $K^{2} \stackrel{\begin{pmatrix}Id & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}}{\rightarrow} K^2$ no tiene núcleo ni cokernel.
Así que esta es la cuestión:
¿Alguien conoce un ejemplo de categoría completa idempotente que no sea abeliana?
(aquí no necesitamos tener Los axiomas de Grothendieck )
Gracias, Timothée
