Separación de ecuaciones diferenciales parciales

Question

Tengo una PDE:

$$ \frac{\partial^2\phi(r,\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial\phi(r,\theta)}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\phi(r,\theta)}{\partial\theta^2} + C^2\phi(r,\theta)=0 $$

Necesito separar la EDP (sólo funciones de r,theta) y mostrar la relación entre las constantes de separación y $C^2$ . Necesito utilizar la solución de $\phi(r,\theta)$ = $f(r)g(\theta)$ . Cuando hago eso, y luego divido por la solución, no veo cómo puedo separar $g$ de $1/r^2$ sin tener la $C^2$ cambiar a $C^2r^2$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Bueno, si supones que $\phi(r,\theta) = R(r) \Theta(\theta)$ entonces

$$ R'' \Theta + \frac{1}{r} R'\Theta + \frac{1}{r^2} R \Theta'' + C^2 R \Theta = 0 $$

Multiplicando por $r^2$ , usted tiene

$$ r^2 R'' \Theta + r R'\Theta + R \Theta'' + r^2 C^2 R \Theta = 0 $$

Dividiendo por $R \Theta$

$$ \frac{1}{R}\left(r^2 R'' + r R'\right) + \frac{\Theta''}{\Theta} + r^2 C^2 = 0 $$

Entonces $$ \frac{1}{R}\left(r^2 R'' + r R'\right) + r^2 C^2 = - \frac{\Theta''}{\Theta} $$

Y dado que el lado izquierdo sólo depende de $r$ y la mano derecha sólo en $\theta$ , usted tiene

$$ \frac{1}{R}\left(r^2 R'' + r R'\right) + r^2 C^2 = - \frac{\Theta''}{\Theta} = \lambda $$

donde $\lambda$ es una constante. Entonces \begin{align} r^2 R'' + r R' + (C^2 r^2 - \lambda) R &= 0 \\ \Theta'' + \lambda \Theta &= 0 \end{align}

La primera es una versión a escala de Ecuación de Bessel mientras que el segundo es el oscilador armónico.

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Aquí es la transcripción del chat I con el OP, donde se da una respuesta completa.