Me gustaría demostrarlo:
Para números complejos no nulos dados $a,b$ y $c$ el conjunto de números reales positivos $x>0$ , $y>0$ satisfaciendo la ecuación: $$ \frac{a\exp(ix)}x + \frac{b \exp(iy)}y = c $$ es contable, donde $i$ es la unidad imaginaria (compleja).
Una pista:
Las dos espirales dan infinitas vueltas alrededor de dos centros distintos. Si ninguna de ellas pasa por el centro de la otra, el número de intersecciones es finito.
Si uno de los bucles pasa por un centro, se encuentra con la espiral una infinidad de veces, pero de forma ordenada: se pueden numerar las intersecciones por parámetro creciente, con un incremento cercano a $\pi$ . (Muy cerca de ese centro, la otra espiral es prácticamente una línea recta).
Esta es una respuesta muy parcial que intenta cubrir todos los casos, con un caso probado y otros casos en estado de conjeturas sin pruebas.
En primer lugar, observa las figuras de la parte inferior; de momento basta con saber que los puntos comunes a las dos espirales se corresponden con las soluciones. La primera figura tiene un número finito de puntos de intersección, la segunda, donde una de las espirales pasa por el centro de la otra, tiene un número -denumerable- infinito de puntos de intersección. La tercera ilustra el caso de un centro común con, de nuevo, un número (denumerable) infinito de puntos de intersección.
Consideremos la curva (S) parametrizada de esta manera:
$$\gamma: t \to \dfrac{1}{t}e^{it} \ \ \text{for} \ \ t>0.$$
Es una espiral hiperbólica * (( https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_spiral ) con la ecuación $r\theta=1$ ), diferente de otras familias clásicas de espirales, la arquimediana, la logarítmica y la espiral de Cornu.
Dos casos extremos:
Si $t \to 0$ , $\gamma(t) \to +\infty$ es decir, (S) posee una asíntota que es una recta paralela al eje real. Más precisamente, considerando $\dfrac{1}{t}e^{it}=\dfrac{1}{t}(1+it-\dfrac{1}{2}t^2+\cdots)$ esta asíntota tiene la ecuación $y=1$ .
Si $t \to \infty$ , $\gamma(t) \to 0$ ; la curva gira en espiral alrededor de un punto límite, el origen que se llamará "centro" de la espiral.
La ecuación dada en la pregunta puede transformarse en:
$$\tag{1}\gamma(x)=c'+b'\gamma(y) \ \ \text{with} \ \ b'=-b/a, \ \ c'=c/a.$$
Así pues, tenemos que considerar la intersección de dos espirales, la del LHS que es $(S)$ el otro en el RHS, nombrémoslo $(S')$ que es una versión ampliada, girada y traducida de $(S)$ siendo el factor de ampliación $|b'|$ siendo el ángulo de rotación arg( $b'$ ), y la traslación dada por $c'$ .
Así, pueden darse dos casos :
Caso 1 : (ilustrado por la figura 3) : si $c'=0$ [los centros de las espirales coinciden] : en este caso, que $b'=re^{i\theta}$ (así $r$ y $\theta$ son cantidades fijas ; $r$ se asume $\neq 1$ ). (1) puede escribirse bajo la forma
$$\tag{2}\gamma(x)=b'\gamma(y) \ \iff \ \dfrac{1}{x}e^{ix}=re^{i\theta} \dfrac{1}{y}e^{iy}$$
Al igualar el módulo y el argumento en ambos lados se obtiene
$$\tag{3} \ \iff \begin{cases}y=rx \\ x=\theta+y+k2\pi \end{cases}$$
donde cada $k \in \mathbb N$ se asocia a un giro específico alrededor del origen.
Ahora, considera la ecuación resultante:
$$\tag{4}x=\theta+rx+k2\pi \ \iff x=\dfrac{1}{1-r}(\theta+k2\pi)$$
(toma $k \in \mathbb N$ si $r<1$ y $k \in -\mathbb N$ si $r>1$ ) dando una solución única para cada turno (porque una vez $x$ es conocido, $y=rx$ es conocida). Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Caso 2: $c' \neq 0$ . Hay dos subcasos:
Subcaso 2.1: una de las espirales pasa por el centro de la otra (ilustrado por la figura 2).
Conjetura: hay un (denumerable) infinito - número de los puntos de intersección.
Subcaso 2.2: ninguna espiral pasa por el centro de la otra (ilustrada por la figura 1).
Conjetura : hay un número finito de los puntos de intersección.
Observación sobre el subcaso 2.1: el hecho de que, por ejemplo, la espiral (S') pase por el origen puede transcribirse en la restricción
$$\exists y \in \mathbb R, \ c'-b'\dfrac{1}{y}e^{iy}=0 \ \iff \ \ d'y=e^{iy} \ \iff \ \ yre^{i \theta}=e^{iy}$$
(mediante el establecimiento de $d':=\tfrac{c'}{b'}:=re^{i \theta}$ ). Por lo tanto, debemos tener simultáneamente $yr=1$ y $\theta = y + k 2 \pi$ . Por lo tanto, la restricción es tener $d'$ tal que $|d'|=1/(arg(d')+k 2 \pi)$ (que es una familia de espirales).
(Figura 1: Caso aleatorio: a lo sumo un número finito de puntos de intersección. Aquí $b'=1-i, \ \ c'=0.1+0.2i$ .)
(Figura 2: Caso en el que una de las espirales pasa por el centro de la otra).
(Figura 3: caso en el que las espirales tienen un centro común: los puntos comunes se han calculado mediante la fórmula (4)).
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