Inclusión - desigualdad similar a la exclusión

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ sea un espacio probabilístico y $A_1,\ldots,A_n\in \mathcal{F}$ . ¿Es cierto que:

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i)^2 - \sum\limits_{1\le i<j\le n}\mathbb{P}(A_i \cap A_j)^2+\ldots + (-1)^{n+1} \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \ldots\cap A_n)^2\ge 0?$$

Cuando $A_1,\ldots,A_n$ son independientes, entonces podemos escribir el lado izquierdo de esta desigualdad como

$$1-\prod\limits_{i=1}^{n} (1-\mathbb{P}(A_i)^2)\ge 0.$$

¿Qué ocurre en el caso general?

Answer 1

Dejemos que $X_r$ , para $r=1,2,\ldots,s$ sean elementos aleatorios independientes de $\Omega$ . Tenemos $\text{Prob}\left(X_r\in E\right)=\mathbb{P}(E)$ para todos $E\in\mathcal{F}$ . Sea $T$ sea el caso de que exista $i=1,2,\ldots,n$ tal que $X_r\in A_i$ por cada $r=1,2,\ldots,s$ . Claramente, $0 \leq \text{Prob}(T) \leq 1$ .

Ahora, por el Principio de Inclusión y Exclusión, $$\displaystyle\text{Prob}(T)=\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\text{Prob}\left(X_r\in\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A_{i_j}\text{ for all }r=1,2,\ldots,s\right)\,.$$ Desde $X_1,X_2,\ldots,X_s$ son independientes, $$\displaystyle\text{Prob}(T)=\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\prod_{r=1}^s\,\text{Prob}\left(X_r\in\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A_{i_j}\right)\,.$$ Así, $$\displaystyle\text{Prob}(T)=\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\prod_{r=1}^s\,\mathbb{P}\left(\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A_{i_j}\right)\,.$$ En consecuencia, $$\displaystyle\text{Prob}(T)=\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\Bigg(\mathbb{P}\left(\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A_{i_j}\right)\Bigg)^s\,.$$ Esto demuestra que $$0 \leq \sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\Bigg(\mathbb{P}\left(\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A_{i_j}\right)\Bigg)^s \leq 1\,.$$

De hecho, si tenemos $A_i^r\in\mathcal{F}$ para $i=1,2,\ldots,n$ y $r=1,2,\ldots,s$ entonces $$\displaystyle0\leq\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k-1}\,\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}\,\prod_{r=1}^s\,\mathbb{P}\left(\textstyle\bigcap_{j=1}^k\,A^r_{i_j}\right)\leq 1\,.$$