si $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$ entonces $x + B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n) \; \forall x \in \mathbb{R}^n$

Question

Estoy tratando de demostrar que si $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$ entonces $x + B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n) \; \forall x \in \mathbb{R}^n$ .

Para demostrarlo, basta con mostrar que el conjunto $$\mathscr{A}_x := \{B\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n): x + B \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)\} \subset \mathscr{B}(\mathbb{R}^n).$$ Primero tengo que demostrar que $\mathscr{A}_x$ es un $\sigma-$ álgebra. ¿Cómo puedo demostrar que si $B \in \mathscr{A}_x$ entonces $B^c \in \mathscr{A}_x$ es decir $x+A^c \in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$ ?

Answer 1

Si $B\in\mathscr A_x$ entonces $B=x+A$ para algunos $A\in\mathscr B(\mathbb R^n)$ .

Entonces: $$-x+B^{\complement}=(-x+B)^{\complement}=A^{\complement}\in\mathscr B(\mathbb R^n)$$

(Demuestre la primera igualdad mostrando que ambas afirmaciones $y\in-x+B^{\complement}$ y $y\in(-x+B)^{\complement}$ son equivalentes con la afirmación $y+x\notin B$ )

Pues eso: $$B^{\complement}=x+(-x+B^{\complement})\in\mathscr A_x$$

Answer 2

La cartografía $T_x(y) = x+y$ es un homeomorfismo, por lo que $\{x\}+B =T_{-x}^{-1}(B)$ es Borel.

Answer 3

Esto es inmediato por el hecho de que $x+B^c=(x+B)^c$ (si esta ecuación no te resulta obvia, ¡intenta probarla!).

Answer 4

Dejemos que $\mathscr{T}:=\mathscr{T}({\mathbb R}^n)$ sea la topología en ${\mathbb R}^n$ . Es evidente que $\mathscr{T}$ es invariable por traslación, es decir $\Omega\in \mathscr{T}$ implica $\Omega+ x\in\mathscr{T}$ para todos $x\in{\mathbb R}^n$ . Desde $\mathscr{B}:=\mathscr{B}({\mathbb R}^n)$ se construye a partir de $\mathscr{T}$ de forma puramente teórica de conjuntos se deduce inmediatamente que $\mathscr{B}$ también es invariable por traslación. No hay que pasar por el aro.