Cambio de variables en la ecuación diferencial y el orden de los argumentos

Question

Esta pregunta procede de Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, capítulo 4, sección 11: "Change of variables". Pregunta del ejercicio 3.

Supongamos que $w=f(x,y)$ satisface $$ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=1. \tag{1} $$ Poner $x=u+v$ , $y=u-v$ y demostrar que $w$ satisface $\dfrac{\partial^2 w}{\partial u\partial v}=1$ . Por tanto, resuelve la ecuación.

Puedo obtener una respuesta mediante una combinación de las dos nuevas variables, \begin{align} u&=\dfrac{x+y}{2},\\ v&=\dfrac{x-y}{2}. \end{align} Porque entonces puedo escribir $$\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial w}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(\dfrac{\partial w}{\partial u}+\dfrac{\partial w}{\partial v}\right)~,$$ por lo que también se deduce que $$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2 w}{\partial u^2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial u\partial v}+\frac{1}{4}\frac{\partial^2 w}{\partial v^2}.\tag{2a}$$ Si haces lo mismo con la otra ecuación, $$\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2 w}{\partial u^2}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial u\partial v}+\frac{1}{4}\frac{\partial^2 w}{\partial v^2},\tag{2b}$$ se pueden combinar con la ecuación dada para encontrar la relación deseada.

Pero no estoy muy satisfecho con la respuesta: nos dieron $w(x,y)$ y utilizamos que eso es igual a $w(x(u,v),y(u,v))$ . Sin embargo, la regla de la cadena, tal como la he aplicado anteriormente, se aplica a una función de la forma $w(u(x,y),v(x,y))$ . Por lo tanto, me parece que la ecuación (1) es: \begin{align} \frac{\partial^2 w(x(u,v),y(u,v))}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 w(x(u,v),y(u,v))}{\partial y^2}=1, \end{align} mientras que al restar la ecuación (2b) de (2a) se obtiene \begin{align} \frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial u\partial v}.\tag{3} \end{align} No me queda claro que el lado izquierdo de la ecuación (3) satisfaga igualmente la ecuación 1, porque el argumento de $w$ es en orden inverso.

¿Se equivoca mi pensamiento en alguna parte? ¿O mi propuesta de respuesta es errónea?

(Mi pregunta también se aplica a los cambios de variables en general: todavía no tengo muy claro cuáles son las reglas exactas).

Answer 1

Su dificultad proviene de un abuso de la notación que es muy común en estos círculos: La misma letra $w$ se utiliza para dos funciones diferentes, una en el $(x,y)$ -mundo, y uno en el $(u,v)$ -Mundo.

Al principio se le da una función $$(x,y)\mapsto f(x,y)\ ,$$ satisfaciendo un determinado pde. Ahora se introduce una nueva función de otras variables $u$ , $v$ poniendo $$(u,v)\mapsto F(u,v):=f(u+v,u-v)\ .$$ Por supuesto que tiene alguna interpretación física, por ejemplo, $w:=f(x,y)$ podría ser la temperatura en el punto $(x,y)$ y se introducen nuevas coordenadas $(u,v)$ en el $(x,y)$ -plano. Se sigue llamando a la temperatura en los puntos del plano $w$ y decir " $w$ es ahora una función de $u$ y $v$ ". Pero la regla de la cadena no conoce esos sentimientos. Dice que $$F_u(u,v)=f_x(u+v,u-v)\cdot1+f_y(u+v,u-v)\cdot1\ ,$$ y que $$\eqalign{F_{uv}(u,v)&=f_{xx}(u+v,u-v)\cdot1+f_{xy}(u+v,u-v)\cdot(-1)\cr &\qquad+f_{yx}(u+v,u-v)\cdot1+f_{yy}(u+v,u-v)\cdot(-1)\ .\cr &=f_{xx}(u+v,u-v)-f_{yy}(u+v,u-v)\cr &=1\ .\cr}$$

Answer 2

Otra forma de pensarlo, que seguramente es la misma que escribió Christian Blatter pero desde otra perspectiva, sería notar que se está usando el mismo nombre para dos funciones diferentes.

Estás usando $w$ para la función que envía $(x,y)$ a $w(x,y)$ como en

$\frac{\partial^2 w(x(u,v),y(u,v))}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 w(x(u,v),y(u,v))}{\partial y^2}=1$

Pero también $w$ para la función que envía (u,v) a $w(u,v)$ como en

$\frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 w(u(x,y),v(x,y))}{\partial u\partial v}$

No podemos escribir $w(x,y)=w(u,v)$ pero podemos renombrar nuestras funciones para escribir $w(x,y)=\tilde{w}(u,v)\ (1)$

Ahora vamos a llamar a $h:(x,y) \to h(x,y)=(u,v)$ entonces tenemos que $\tilde{w}(u,v)=(\tilde{w}\circ h)(x,y)\ (2) $

De (1) y (2) tenemos que $w(x,y)=_{*}(\tilde{w}\circ h)(x,y)=_{**}\tilde{w}(u,v)\ $ Así que..,

$\frac{\partial^2 w(x,y)}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 w(x,y)}{\partial y^2} \\=_{*}\frac{\partial^2 (\tilde{w}\circ h)(x,y)}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 (\tilde{w}\circ h)(x,y)}{\partial y^2} \\=_{**}(\frac{1}{4}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial u^2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial u\partial v}+\frac{1}{4}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial v^2})-(\frac{1}{4}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial u^2}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial u\partial v}+\frac{1}{4}\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial v^2}) \\=\frac{\partial^2 \tilde{w}(u,v)}{\partial u\partial v}$