Quiero encontrar la función de covarianza de un proceso estocástico $(X(t))_{t \in I}$ para $X(t) := \mathbb{1}_{[0,t]}(U)$ donde $U$ ~Unif $[0,1]$ y $I = [0,1]$ .
La función de covarianza viene dada por
$$Cov(X(s),X(t)) = \mathbb{E}[(X(s)-\mathbb{E}X(s)) \cdot (X(t)-\mathbb{E}X(t))]$$
Según entiendo (corregidme si me equivoco), porque ambos $X(s)$ y $X(t)$ dependen del mismo $U$ no son independientes. Tenemos $\mathbb{E}X(s) = \frac{s^2}{2}$ (¿verdad?). Así que tenemos
$$Cov(X(s),X(t)) =\mathbb{E}[(X(s)-\frac{s^2}{2}) \cdot (X(t)-\frac{t^2}{2})]$$
Ahora no estoy seguro de cómo calcular esto. ¿Es esto correcto (suponiendo que $s \le t$ ) ?
$$\int_{0}^{1}u\cdot(\mathbb{1}_{[0,s]}(u)-\frac{s^2}{2})\cdot(\mathbb{1}_{[0,t]}(u)-\frac{t^2}{2})du = \int_{0}^{1}u\cdot(\mathbb{1}_{[0,s]}(u)-\frac{s^2}{2})\cdot(\mathbb{1}_{[0,s]}(u)-\frac{t^2}{2})du = \int_{0}^{s}u\cdot(u-\frac{s^2}{2})\cdot(u-\frac{t^2}{2})du = \int_{0}^{s}u\cdot(u^2-u\cdot\frac{s^2+t^2}{2}+\frac{s^2t^2}{2})du = \int_{0}^{s}u^3-u^2\cdot\frac{s^2+t^2}{2}+u\cdot\frac{s^2t^2}{2}du = \frac{s^4}{4}-\frac{s^5+s^3t^2}{6}+\frac{s^4t^2}{4}$$
¿Y cómo cambiaría mi resultado si en su lugar tuviera $X(t) := \mathbb{1}_{[0,t]}(U)-t$ con $U$ y $I$ como en el caso anterior?
