¿Cuál es la ventaja de definir una norma positiva para los vectores?

Question

He leído que la razón por la que tenemos la propiedad $\langle A|B\rangle=\langle B|A\rangle^*$ es hacer definir una norma positiva con la fórmula $\langle A|A\rangle$ .

Pero no entiendo en qué nos beneficia tener esta norma. Supongo que lo hacemos para hacer una analogía con las flechas, que también tienen una norma positiva.

Pero esta no puede ser la única razón. Al fin y al cabo, muchas cosas que son ciertas para las flechas no lo son para los vectores generales. Por ejemplo, los valores angulares de $-2\pi$ a $2\pi$ no se trasladan de las flechas a los vectores generales. La fórmula del ángulo entre vectores generales, $\cos \theta=\frac{\langle A|B\rangle}{|A||B|}$ puede dar lugar a valores complejos de $\theta$ . La conmutatividad del producto interior tampoco se traslada de las flechas a los vectores generales (aunque esta es la misma razón por la que se traslada una norma positiva).

Mantener una norma positiva para los vectores generales debe permitirnos trasladar algunas buenas propiedades del mundo de las flechas a los vectores generales. ¿Cuáles son esas cosas buenas?

Al igual que, incluso si dejamos de lado esta propiedad, seguiríamos siendo capaces de demostrar la existencia de una base ortonormal, ya que Gram Schmidt no requiere $\langle A|B\rangle=\langle B|A\rangle ^*$ . Así que al menos esas cosas siguen funcionando.

EDIT- Me acabo de dar cuenta de que, si bien la Gram Schmidt puede no requerir $\langle V|V\rangle$ para ser estrictamente positivo, requiere $\langle V|V\rangle$ que no sea 0 para los vectores no nulos $|V\rangle$ porque sólo entonces podemos reescalar los vectores base por su norma para obtener un vector unitario.

EDIT- También me he dado cuenta de que las desigualdades de Cauchy Schwarz y del Triángulo ya no tendrían sentido sin esta norma. Tal vez estos son resultados útiles también.

Answer 1

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$ El contexto sugiere que estás preguntando sobre productos internos en un espacio vectorial complejo (de dimensión finita) y preguntando por qué la definición habitual impone simetría conjugada en lugar de la simetría impuesta para los productos internos reales.

Veamos la situación en  $\Cpx$ , escribiendo $A = x + iy$ y $B = x' + iy'$ con $x$ , $y$ , $x'$ y $y'$ real. El "simétrico" (o complejo-bilineal ) la definición del producto interior es $$ AB = (x + iy)(x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + x'y). $$ En cambio, la definición "hermitiana" (o "conjugado-lineal") es $$ A^{*}B = (x - iy)(x' + iy') = (xx' + yy') + i(xy' - x'y). $$ Supongamos que buscamos una generalización del producto interior real. ¿Cuál deberíamos elegir?

Para la primera, ninguna de las dos componentes (parte real o imaginaria) es el producto punto euclidiano. Para la segunda, el parte real es el producto punto euclidiano bajo la identificación obvia de  $\Cpx$ con el plano real. Un punto para la linealidad conjugada.

La segunda tiene un beneficio adicional: la parte imaginaria es otro amigo nuestro, el determinante o formulario de la zona en el avión.

Estas observaciones se generalizan para vectores complejos con $n > 1$ componentes, es decir, al espacio vectorial complejo $(\Cpx^{n}, +, \cdot)$ : La parte real del producto interno conjugado-lineal es el producto punto euclidiano sobre el espacio vectorial real  $\Cpx^{n}$ y gratis recogemos una interesante estructura extra (una función real-bilineal sesgada) en la parte imaginaria.

Dado que un espacio vectorial complejo arbitrario de dimensiones finitas es isomorfo a un espacio cartesiano complejo, es natural adoptar la conjugación-lineal cuando definimos un producto interno en un espacio vectorial con multiplicación escalar compleja.

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Añadido : Al abordar por qué preferimos la simetría hermitiana para los productos internos complejos, puede que se me haya escapado la motivación sobre "¿Qué perdemos si un producto interno es indefinido (pero no degenerado)?"

Las ediciones de la pregunta mencionan propiedades lineales-algebraicas que perdemos con un producto interno indefinido. Otra es la "homogeneidad de dirección": En un espacio euclidiano (producto interior positivo-definido), para cada par de líneas que pasan por el origen existe una isometría lineal que lleva una línea a la otra.

Cuando tenemos un producto interior indefinido, esto ya no es así; tenemos homogeneidad en los conjuntos de líneas "positivas", de líneas "nulas" y de líneas "negativas". Esto a su vez significa que algunas líneas que pasan por el origen no golpear la esfera de la unidad .

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Esto se está alejando un poco, pero desde mi perspectiva como geómetra, la gran "pérdida" al abandonar la positividad no es lineal-algebraica sino topológica: En un espacio de producto interno indefinido perdemos la compacidad de la esfera unitaria .

He aquí un ejemplo básico de las complicaciones resultantes: Supongamos que $(M, g)$ es una variedad compacta dotada de una métrica riemanniana (definida positivamente en cada punto). En cada punto, la esfera de vectores unitarios es compacta. Por consiguiente, ( porque la estructura local del producto ), el haz de la esfera unitaria es compacto. Ahora, las geodésicas de velocidad unitaria de $(M, g)$ pueden verse como curvas integrales de un campo vectorial unitario en el haz de la esfera unitaria. La compacidad del haz de la esfera unitaria garantiza la integridad del flujo: En una variedad riemanniana compacta, las geodésicas existen para todo el tiempo.

En un compacto indefinido (pseudo-riemanniana), sin embargo, el flujo geodésico puede ser incompleto. Múltiples de Einstein de A. Besse contiene un ejemplo de una métrica con signo de Lorentz en una $2$ -toro con esta propiedad. Si los conos de luz (direcciones nulas de la métrica) se inclinan convenientemente de un punto a otro, existe una geodésica unitaria de velocidad temporal que en tiempo finito serpentea infinitas veces alrededor del toro.

Esto no quiere decir que los matemáticos no puedan trabajar con métricas indefinidas, sino que hacerlo es técnicamente más difícil, y algunas propiedades de los productos internos positivos no se generalizan a los productos internos indefinidos no degenerados.

Answer 2

Una norma positiva nos permite convertir el espacio del producto interior en un espacio métrico midiendo la distancia entre vectores con $d(x,y) = \|x-y\| = \sqrt{(x-y)\cdot (x-y)}$ Muchas cosas se basan en una noción de distancia derivada del producto interior y esto ayuda a que estos conceptos se generalicen. Por ejemplo, el concepto de soluciones por mínimos cuadrados de $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ sigue teniendo sentido para los espacios de productos internos complejos y el proceso de resolución sigue siendo esencialmente el mismo.

Answer 3

La definición de norma incluye que $\|x\|>0$ si $x\ne 0$ la identidad aditiva. (Las otras dos partes de la definición implican la multiplicación por un escalar en el campo y la desigualdad del triángulo). Como la norma es una función $\|\cdot\|$ de vectores en un espacio vectorial $S\rightarrow\mathbb R$ a veces la norma se denota por $\rho(x)$ . Si la norma no es estrictamente positiva para todos los vectores no nulos, es decir, la condición se relaja, la función se llama seminorma.

La norma contiene la noción de longitud. Cualquier producto interior puede inducir una norma válida, si tomamos el producto interior como positivo si $x\ne0$ . Entonces la norma inducida por el producto interior es $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ y satisface la definición de norma. Si $\|\cdot\|$ es una norma, entonces $\Delta(x,y)=\| x-y\|$ cumple las condiciones para ser una métrica.