Demuestre si $(l,m)=1$ y $l\mid mn$ entonces $l\mid n$ .

Question

Acabo de hacer mi final de teoría de números y esto estaba en el examen como segunda pregunta. Decía que usara la descomposición canónica de $l, m$ y $n$ para la prueba. Esto es lo que puse en el examen:

Prueba

Dejemos que $l=p_1 p_2 p_3...p_n$ y $m=r_1 r_2 r_3...r_n$ . Desde $(l,m)=1$ , $p_i \nmid r_i$ para todos $i\in \Bbb{z}$ . (Pensando, debería haberlo expresado de otra manera, tal vez $p_a\nmid r_b$ para todos $a, b \in\Bbb{z}$ ). Por lo tanto, $l\nmid m$ .

Ahora, $mn=n r_1 r_2 r_3...r_n$ (ahora se da cuenta de la mala elección de los nombres de las variables) y como $l\nmid m$ entonces debe seguirse que $l\mid n$

$\blacksquare$

La pregunta es si esto es una prueba lo suficientemente rigurosa, o si esto tiene algún sentido en general, de lo contrario cómo debería ser la prueba?

Answer 1

Desde $(l,m)=1$ entonces por La identidad de Bézout hay $u,v$ s.t. $$ul+vm=1\tag{1}$$ así que multiplicando $(1)$ por $n$ encontramos $$uln+vmn=n\tag{2}$$ y como $l$ divide el LHS de $(2)$ entonces $l$ divide también $n$ .

Answer 2

Dejemos que $l=p_1^{a_1} p_2^{a_2}\cdots p_x^{a_x}$ , $m=q_1^{b_1} q_2^{b_2}\cdots q_y^{b_t}$ donde el $p_i$ son primos distintos, también el $q_i$ . Tenga en cuenta que el $p_i$ y $q_j$ son todos distintos.

Dejemos que $n=p_1^{c_1}\cdots p_x^{c_x} q_1^{d_1}\cdots q_y^{d_y} r_1^{e_1}\cdots r_z^{e_z}$ . Es conveniente permitir $0$ como exponente.

Desde $l|mn$ concluimos que $a_i \le c_i$ para todos $i$ de $1$ a $x$ (sólo hay que escribir la descomposición de la potencia primera de $mn$ ).

Se deduce inmediatamente que $l$ divide $n$ .

Observación: La idea general de la prueba tal y como se presenta en el PO está bien. Ciertamente el hecho que identificaste, que (en mi notación) el $p_i$ y $q_j$ son distintos es crucial para la prueba. Se debería haber dado la descomposición en potencias primarias, ya que la prueba se reduce a una comparación de exponentes. Habría sido útil dar la descomposición en potencia de los primos de $n$ .

La prueba que utiliza la identidad de Bezout es mucho más sencilla, al menos tipográficamente. Pero la prueba de la descomposición de la potencia de los primos está más ligada a la intuición sobre la estructura multiplicativa de los enteros positivos.