¿Cómo se determina la medida de una integral de volumen?

Question

Si $I = \int r^2 dm$ ¿Cómo puedo establecer una integral sobre el volumen de cualquier objeto? No puedo usar ninguna suposición de simetría o atajos porque el objetivo es girar alrededor de un eje arbitrario.

$m = \rho v$ así que $I = \rho\int r^2 dv$ pero para un cubo $v = xyz$ así que $dv = yz dx + zx dy + xy dz$ . ¿Supongo?
¿Cómo puedo pasar de eso a $I = \rho\int\int\int r^2 dx dy dz$ ?

¿Qué está pasando realmente? ¿Por qué no reemplazo $dv$ con $yz dx + zx dy + xy dz$ y obtener $I = \rho\int yzr^2 dz + \rho\int zxr^2 dy + \rho\int xyr^2 dz$ ?

O por un cilindro, $v = \pi(r_o^2 - r_1^2)h$ y $dr = \pi(r_o^2 - r_1^2)dh + 2\pi hr_o dr_o - 2\pi hr_i dr_i$ . ¿Cómo configuro el volumen integral con esto?

Para aclarar: estoy preguntando por el principio general. Cuando pienso en una forma, como un cilindro girado arbitrariamente, necesito saber qué hacer para establecer la integral de volumen.

¿Cómo funciona esto?

Answer 1

No es cierto que ${\rm d}V$ en la integral de volumen $\int {\rm d}V$ significa ${\rm d}(xyz)$ . En cambio, significa $\int{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z$ el volumen infinitesimal ${\rm d}V$ es lo mismo que el producto de los tres "factores lineales" infinitesimales: no tiene ningún sentido pasar del infinitesimal ${\rm d}V$ a la "totalidad" $V$ y luego "diferenciarlo de nuevo".

Una integral triple no es más que una secuencia de tres integraciones seguidas. Primero se puede integrar sobre $z$ , y luego sobre $y$ , y luego sobre $x$ . También es posible utilizar coordenadas más convenientes - axiales, esféricas u otras - y hacer el cálculo más manejable. Muchas de esas integrales triples son exactamente resolubles, otras no. Es una cuestión puramente matemática cuál de ellas puede expresarse en términos de funciones simples.

En estas integrales, al calcular el momento de inercia, se puede escribir la fórmula general $$ I = \int {\rm d} V\,\rho\,r^2 $$ donde $\rho$ es una densidad de masa en el punto dado (donde el pequeño volumen ${\rm d}V$ se encuentra). Si $\rho$ es igual a cero excepto en un intervalo, se puede sustituir la integral anterior, que se suponía de $-\infty$ a $+\infty$ para que todo el espacio quede cubierto, por la integral sobre el intervalo donde $\rho$ es distinto de cero.