Observando algunos de los triples pitagóricos más comunes, me di cuenta de una tendencia que consiste en que normalmente hay dos números que difieren sólo en uno o dos, con más números mucho más pequeños o más grandes en comparación. Por ejemplo:
$$5,12,13$$ $$8,15,17$$ $$7,24,25$$ $$20,21,29$$ $$12,35,37$$ $$9,40,41$$ y así sucesivamente...
Me preguntaba si hay alguna razón algebraica o geométrica más profunda para esto, o si es sólo una coincidencia con los números que he elegido.
Esto se debe a que, cuando $n$ es impar $$\left(n,\frac{n^2-1}2,\frac{n^2+1}2\right)$$ es una tripleta pitagórica y, cuando $n$ está en paz, $$\left(n,\left(\frac n2\right)^2-1,\left(\frac n2\right)^2+1\right)$$ es un triple pitagórico también. En el primer caso, el segundo y el tercer número difieren en $1$ y, en el segundo caso, difieren en $2$ .
Un triple pitagórico primitivo es de la forma $$m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2$$ donde $m\gt n$ , $m,n$ no tienen un factor primo común y uno de $m,n$ está en paz.
Si $n=1$ se tienen automáticamente dos números que difieren en $2$ . Si $m=n+r$ entonces tienes $2n^2+2nr$ y $2n^2+2nr+r^2$ por lo que si $m-n=1$ automáticamente tienes lados que se diferencian por $1$ .
Ahora mira los primeros pares posibles para $m,n$
Tenemos $2,1$ dando $3,4,5$ Entonces $3,2$ dando $5,12,13$ Y $4,1$ con $15, 8, 17$ Y $4,3$ con $7, 24, 25$ Y $5,2$ con $21, 20, 29$ etc.
Este último no es uno de los que he cogido, pero la cercanía aquí es esencialmente porque los números $m$ y $n$ son pequeños.
A medida que los números se hacen más grandes, casos como $10,7$ dando $51, 140, 149$ ;
o $10,3$ lo que lleva a $91, 60, 109$ se vuelven más típicos.
Todos los triples pitagóricos están dados por
$$a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2 $$
para cualquier par $m>n>0$ .
Para tener una pequeña $a$ podemos establecer $m=n+k$ con $k$ pequeño y por lo tanto
por lo tanto
$$b-c=k^2$$
que tiende a ser relativamente "pequeño".
La conocida fórmula de Euclides es $A=m^2-n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$ y genera triples triviales, todos los primitivos, dobles y múltiplos cuadrados de los primitivos pero en un patrón aparentemente aleatorio. Una variación sustituye $(m,n)$ con $(2n-1+k,k)$ no produce triples triviales y sólo genera el subconjunto en el que GCD(A,B,C) es un cuadrado impar:
$$A=(2n-1)^2+2(2n-1)k\quad B=2(2n-1)k+2k^2\quad C=(2n-1)^2+2(2n-1)k+2k^2$$ Esta fórmula genera un patrón distinto de conjuntos que se puede ver en la muestra de abajo, donde el incremento entre los valores de $A$ en cada conjunto es $2(2n-1)$ y $C-B=(2n-1)^2$ .
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} n & Triple_1 & Triple_2 & Triple_3 & Triple_4 \\ \hline Set_1 & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41\\ \hline Set_2 & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65\\ \hline Set_3 & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 \\ \hline Set_{4} &63,16,65 &77,36,85 &91,60,109 &105,88,137\\ \hline \end{array}$$
Configuración $n=1$ reduce la fórmula a $$A=2k+1\quad B=2k(k+1)\quad C=2k(k+1)+1$$ y sólo genera $Set_1$ donde $C-B=1$ .
Configuración $k-1$ reduce la fórmula a $$A=4n^2-1\quad B=4n\quad C=4n^2+1$$ y genera sólo el primer miembro de cada conjunto donde $C-A=2$ .
Otra fórmula no relacionada genera sólo los raros triples en los que $B-A=1$ como $(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985)$ . Esta fórmula comienza con $A_1,B_1,C_1=3,4,5$ y luego construye cada triple basándose en su predecesor: $$A_{n+1}=3A_n+2C_n+1\quad B_{n+1}=3A_n+2C_n+2\quad C_{n+1}=4A_n+3C_n+2$$
Hay un número infinito de ellos, pero se hacen más escasos con la altura; Excel sólo puede generar 19 antes de dar lugar a ceros finales. El $19^{th}$ es $(211929657785303,211929657785304,299713796309065)$ .
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