Estoy luchando con el siguiente ejercicio. Dejemos que $f:[0,a] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Demostrar que $$ \int_0^a\left ( \int_0^y f(x)\,dx \right )dy=\int_0^a xf(a-x)\,dx $$ Sé que tengo que invertir el orden de integración pero luego no consigo la declaración. ¿Alguien puede ayudarme?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede integrar por partes: $$ \int_0^a \left( \int_0^y f(x) \, dx \right) dy = \left[ (y-a) \int_0^y f(x) \, dx \right]_{y=0}^a + \int_0^a (a-y)f(y) \, dy. $$ Los términos de frontera desaparecen con esta elección de antiderivada para $1$ y esta última se puede poner en la forma correcta poniendo $x=a-y$ .
