Sospecho que la categoría de espacios uniformes y mapas uniformemente continuos y la subcategoría completa de espacios uniformes son ambas bicompletas y cartesianas cerradas. ¿Puede alguien confirmar o negar, con referencia si es posible?
Respuestas
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Hay dos posibles significados de "espacio uniforme" en la literatura. Voy a seguir la terminología de Isbell, donde la definición de un uniforme espacio incluye el axioma de separación, y se habla de un pre-uniforme espacio cuando no está incluido.
La categoría de espacios preuniformes y mapas uniformemente continuos tiene hormigón límites y colímites: se puede tomar el (co)límite del diagrama de conjuntos subyacente, en la categoría de conjuntos, y luego dotarlo de la estructura uniforme inicial (final).
La categoría de espacios uniformes sigue teniendo límites concretos; y colímites que generalmente no son concretos, utilizando un cociente uniforme estándar de un espacio preuniforme.
Ninguna de las dos categorías es cartesiana cerrada. La ley exponencial $Z^{Y\times X}\ne (Z^Y)^X$ falla en general, a menos que $X$ es compacto. Por ejemplo, un mapa uniformemente continuo $I\times\Bbb R\to\Bbb R$ (es decir, una homotopía uniforme) no es lo mismo que un mapa uniformemente continuo $\Bbb R\to \Bbb R^I$ (es decir, una homotopía a través de mapas uniformemente continuos $\Bbb R\to\Bbb R$ ). De hecho, $id:\Bbb R\to\Bbb R$ no es uniformemente nulo-homotópico, pero es nulo-homotópico a través de mapas uniformemente continuos.
Todo lo anterior se discute de alguna forma en el libro de Isbell "Uniform spaces". Para un repaso rápido, véase también la sección 2.B aquí . Hay que tener cuidado con la naturaleza engañosa de los colimits secuenciales, como ha observado Taras Banakh, La estructura topológica de los límites directos en la categoría de espacios uniformes .
En cuanto a los espacios uniformes completos, creo que se cierran bajo los límites, pero no se cierran bajo los empujes.
Añadido más tarde: Si quieres algo que se sienta como espacios uniformes y que sea cartesiano cerrado, te sugiero el Casco cerrado cartesiano de la categoría de espacios uniformes por Jiří Adámek y Jan Reiterman. Los objetos de este casco son espacios uniformes bornológicos, es decir, espacios uniformes dotados de una colección de conjuntos "acotados"; los morfismos son los mapas uniformemente continuos que preservan los conjuntos acotados. Los espacios uniformes bornológicos son realmente bonitos: cuando todos los conjuntos se designan como acotados, pueden identificarse con los espacios uniformes habituales, y cuando sólo se designan como acotados subconjuntos de conjuntos compactos, pueden identificarse con espacios topológicos de Tychonoff generados de forma compacta.
Lamentablemente, Adámek y Reiterman tienen un error en la prueba del lema 2.3 (en la última línea de la prueba de la afirmación (i)). No he visto que se discuta este error en la literatura, pero creo que se puede remediar sustituyendo $Hom(A^\ast,I)$ en el enunciado del lema con $Hom(A^\ast,I^\Lambda)$ , donde $\Lambda$ es una familia de pseudométricas que definen la uniformidad de $A$ . .
Otros trabajos en esta dirección son La categoría de espacios de convergencia uniforme es cartesiana cerrada de R. S. Lee y algunos trabajos relacionados de su asesor Oswald Wyler; y Espacios metrizables en subcategorías cartesianas cerradas de espacios uniformes y Productividad de los espacios uniformes limitados por α por Gloria Tashjian, que creo que aclara sus resultados anteriores con su asesor M. D. Rice.
joseph Devitt
Puntos
11
Hay un profesor en mi universidad (Mike Rice) con el que a veces hablo de espacios uniformes. Cuando surgió el tema de la completitud, me señaló los dos siguientes artículos suyos y de Gloria Tashjian:
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" Subcategorías coreflectivas cerradas cartesianas de espacios uniformes generadas por clases de espacios métricos ", Topología y Aplicaciones 15 (1983), 301-312.
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" Subcategorías cartesianas cerradas de espacios uniformes ", Trans. Amer. Math. Soc., 276, 1 (1983), 289-300.
El segundo artículo ofrece un ejemplo que demuestra que Unif no es cartesiano-cerrado. No estamos seguros de si también funciona para demostrar que CompleteUnif no es cartesiano-cerrado. Otro ejemplo interesante es el casco coreflectivo de $[0, 1]$ .
Si quieres una subcategoría completa de Unif que sea cartesiana cerrada puedes, por supuesto, trabajar en espacios generados de forma compacta (en Unif los espacios generados de forma compacta son k-espacios con la uniformidad fina ), pero el profesor Rice me señaló que en Unif esta subcategoría puede actuar de forma muy diferente a los espacios k dentro de Top.
