Ángulo diedro de un simplex regular en $n$ dimensiones

Question

Para el simplex regular en $(n+1)$ puntos en $n$ dimensiones, ¿cuál es el ángulo diedro, es decir, el ángulo entre dos de las caras?

Answer 1

Es $\cos^{-1}(1/n)$ . Para calcularlo, para concretar digamos que el simplex está formado como el casco convexo de $(n+1)$ vectores unitarios $\{u_i\}$ y las caras son $P_i$ con $P_i$ frente a $u_i$ . Dejemos que $\alpha$ sea el ángulo entre $u_1, u_2$ . En realidad, el caso es que $\pi - \alpha$ es el ángulo que buscamos: $u_1$ y $u_2$ son vectores normales a $P_1$ y $P_2$ y el ángulo entre los vectores normales es el mismo que entre los planos (excepto $\alpha$ es el ángulo obtuso entre los planos, de ahí la necesidad de restarlo a $\pi$ ).

Para calcular $\alpha$ Consideremos el triángulo formado por $u_1$ , $u_2$ y el origen. Sea $d$ sea la longitud de la arista entre $u_1$ y $u_2$ . Por la ley de los cosenos, $$d^2 = \|u_1\| + \|u_2\| - 2\|u_1\|\cdot\|u_2\| \cos\alpha = 2 - 2\cos \alpha $$ Por lo tanto, basta con calcular $d$ . Mediante un cálculo explícito para el simplex estándar como se hace exactamente en esta respuesta un simplex con circunradio 1 tiene una longitud de arista $d = \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}$ . Así que $$ \frac{2(n+1)}{n} = 2 - 2\cos \alpha$$ $$ \alpha = \cos^{-1}(-1/n) = \pi - \cos^{-1}(1/n)$$ $$ \pi - \alpha = \cos^{-1}(1/n)$$

Esta respuesta es una simplificación de " Un cálculo elemental del ángulo diedro del n-símplex regular "de Parks y Wills.