¿Cómo resolver esta ecuación de álgebra?

Question

$$f = X^3 - 12X + 8$$ $a $ - número complejo, $a$ es una raíz para $f$

$b = a^2/2 - 4 $ .

Demostrar que $f(b) = 0$

Este es uno de mis ejercicios temáticos ... ¡Algunas explicaciones serán apreciadas ! Gracias a todos por su tiempo .

Answer 1

\begin{align*} f(b) &= f(\frac{a^2}{2} - 4) \\ &= (\frac{a^2}{2} - 4)^3 - 12(\frac{a^2}{2} - 4) + 8 \\ &= \frac{a^6}{8} - 3a^4 + 24 a^2 - 64 - 6a^2 + 48 + 8 \\ &= \frac{a^6}{8} -3a^4 + 18a^2 -8 \end{align*}

Por otro lado, $$ f(a) = a^3 - 12a + 8 = 0 $$ y por lo tanto \begin{align*} 0 = 0^2 &= (a^3 - 12a + 8)^2 \\ &= a^6 - 24a^4 + 16a^3 + 144 a^2 - 192a + 64 \\ &= (a^6 - 24a^4 + 144 a^2 - 64) + (16a^3 - 192a + 128) \\ &= 8(\frac{a^6}{8} -3a^4 + 18a^2 -8) + 16(a^3 - 12a + 8)\\ &= 8f(b) + 16f(a) \\ &= 8f(b) \end{align*} Por lo tanto, $$ f(b)=0. $$

Answer 2

Como $a$ es la raíz de $f = X^3 - 12X + 8=0, a^3-12a+8=0$

Ahora, $b=\frac{a^2}2-4\implies a^2=2(b+4)=2b+8$

Así, desde $a^3-12a+8=0, a(2b+8)-12a+8=0\implies a=-\frac8{2b+4}=-\frac4{b+2}$

Así que, $$\left(-\frac4{b+2}\right)^3-12\cdot \left(-\frac4{b+2}\right)+8=0$$

Simplificando, obtenemos , $$b^3-12b+8=0$$