Expectativa que implica el tiempo local del movimiento browniano

Question

Tengo un problema relacionado con expectativa de hora local detenida donde se demuestra que $$E_x[L^y_{T_a \wedge T_b}]=2(x-a)(b-y)/(b-a).$$ para $a \leq x \leq y \leq b$ , $T_z = \inf\{t\geq 0:B_t =z\}$ , $B_t$ es un movimiento browniano unidimensional y $L_t^y$ su hora local en $z$ hasta $t$ .

Dejemos que $T=T_a \wedge T_b$ y $t\geq 0$ . ¿Existe una expresión similar para $E_x[1_{\{T < t\}}L^y_{T}]$ ? He intentado modificar la prueba del post original pero no ha funcionado. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Tendrás más suerte con el objeto complementario $E_x[1_{\{T>t\}}L^y_T]$ . En el evento $\{T>t\}$ tienes $L^y_T=L^y_t+L^y_T\circ\theta_t$ , donde $\theta_t$ es el operador de desplazamiento en las trayectorias brownianas. Las expectativas de estos dos términos pueden expresarse cada una en términos de la densidad de transición del movimiento browniano muerto cuando alcanza por primera vez $a$ o $b$ el primer término directamente y el segundo haciendo uso de la fórmula que has mostrado. (Cuando la hora local se normaliza adecuadamente, se tiene $E_x[L_t^y] = p_t(x,y)$ con $p_t(x,y)$ la densidad de transición browniana; igualmente para $E_x[1_{\{T>t\}}L_t^y]$ pero utilizando la densidad de transición del movimiento matado).

Answer 2

Permítanme que intente realizar los primeros pasos basándome en el enfoque publicado por John Dawkins. Consideramos el objeto complementario $$E_x[1_{\{T>t\}}L^y_T]=E_x[1_{\{T>t\}}(L^y_t+L^y_T\circ \theta_t)]=E_x[1_{\{T>t\}}L^y_t]+E_x[1_{\{T>t\}}L^y_T\circ \theta_t]$$ y utilizar la propiedad de Markov $$=E_x[1_{\{T>t\}}L^y_t]+E_x[1_{\{T>t\}}E_t[L_T^y]]=E_x[1_{\{T>t\}}L^y_t]+E_t[L_T^y]P_x(T>t).$$ Queda por calcular la primera expectativa de la lhs $E_x[1_{\{T>t\}}L^y_t]$ .

No soy experto en tiempos locales así que el hecho de que $E_x[L_t^y] = p_t(x,y)$ mencionada por John Dawkins era nueva para mí y no pude encontrar ninguna referencia al respecto. ¿Cómo puedo demostrar esta afirmación y cómo puedo encontrar una expresión similar para $E_x[1_{\{T>t\}}L_t^y]$ ?