Cada elemento de $\mathbb{Q}[\sqrt[5]{2}]$ tiene un múltiplo en $\mathbb{Q}_+[\sqrt[5]{2}]$

Question

Necesito ayuda para entender este teorema. Me lo ha dado mi profesor y no encuentro nada sobre él en internet. El tema es Campos numéricos algebraicos (no he podido encontrar la etiqueta en la lista de temas).

Dejemos que $a= \sqrt[5]{2}$ Es decir, $a^5 = 2$ .

Consideremos el campo numérico algebraico $$F = \mathbb Q[a] = \{\alpha_0 + \alpha_1 a + \alpha_2a^2 + \alpha_3a^3 +\alpha_4a^4 \mid \alpha_i \in \mathbb Q\}$$ (comprueba que F es un subcampo de R)

y $$P = \{\alpha_0 + \alpha_1 a + \alpha_2a^2 + \alpha_3a^3 +\alpha_4a^4\mid \alpha_i \in \mathbb{Q}_+\}.$$ P es un subcampo de F

Demostrar el teorema: para cualquier $f \in F$ existe un $g \in P$ tal que $fg \in P$ o $-fg P$ .

He intentado resolverlo por mi cuenta pero no consigo ni empezar. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Una variación del comentario de Batominovski:

Primero hay que tener en cuenta que hay números racionales $r$ arbitrariamente cerca de $a$ .

A continuación, inspeccione los coeficientes de $1, a,a^2,a^3\text{ en } a^4$ para $(1+\frac ar+\frac{a^2}{r^2}+\frac{a^3}{r^3}+\frac{a^4}{r^4})\,f$ y sus límites como $r\to a$ .