¿Es correcta mi demostración? (Funciones integrables de Lebesgue)

Question

Supongamos que $f \in \mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{A}, \mu).$ Demostrar que para cada $\epsilon > 0$ existe un límite $\mathcal{A}$ -función medible $g$ tal que $\int_{\Omega} |f-g| d\mu < \epsilon$ .

Mi prueba:

$$f \in \mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{A}, \mu) $$ $$\Rightarrow \int_{\Omega} |f| d\mu < \infty$$ $$\Rightarrow |f| \text{ is finite } \mu-ae$$ $$\Rightarrow \text{ Let } D = \{x: f(x) < \infty\}, \text{ then } \mu(D^c) = 0$$

Dejemos que $$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \in D \\ 0 & \text{otherwise } \end{cases}$$ entonces $g(x)$ está acotado y $\int_{\Omega} |f-g| d\mu = \int_D |f-g| d\mu = 0 < \epsilon$ .

Pero este es un resultado más fuerte que el declarado como $g$ no depende de $\epsilon$ ¡!

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, la función $f$ no está necesariamente acotado en $D$ (es decir, por una constante uniforme), ya que la elección $g( x)= 1/\sqrt {x} \cdot 1_{(0,1)}(x)$ .

Sin embargo, podemos definir $E_n:=\{x\mid|f(x)|\lt n\}$ y $f_n(x)$ igual a $f(x)$ si $x$ pertenece a $E_n$ y $0$ en caso contrario. Utilizando el teorema de convergencia monótona, podemos demostrar que $\int_{\Omega}|f-f_n|\mathrm d\mu$ converge a $0$ . Dado que cada $f_n$ está acotado, hemos terminado tras una buena elección de $n$ cuando $\varepsilon$ se da.