Raíz digital de semiprimas primos gemelos

Question

Resulta que el producto de cualquier par de primos gemelos (excluyendo el primer par 3 y 5) da lugar a un semiprimo cuya raíz digital es igual a $8$ .

Por ejemplo: $$ 17 \cdot 19 = 323 $$ La raíz digital de $323$ es $8$ .

He probado los veinte primeros y un montón de grandes al azar, tales como $$ 8231 \cdot 8233 = 67765823 $$ Su raíz digital también es $8$ .

Como aficionado a las matemáticas avanzadas, tengo curiosidad por saber cómo podría demostrar o refutar esta conjetura. Todos los consejos son bienvenidos y muy apreciados. Muchas gracias.

Answer 1

Su conjetura es cierta.

De cualquier $3$ enteros consecutivos, uno es divisible por $3$ . Si $2$ de los números enteros son un par de primos gemelos ninguno de los cuales es $3$ entonces ninguno de los números "finales" es divisible por $3$ . Así que el número "del medio" debe ser divisible por $3$ .

Así que los primos gemelos son $3k-1$ y $3k+1$ para algún número entero $k$ . De ello se deduce que su producto es $9k^2-1=9k^2-9+8$ . Concluimos que el resto cuando $(3k-1)(3k+1)$ se divide por $9$ es $8$ .

Pero el resto cuando un número $n$ se divide por $9$ es igual al resto cuando la suma de los dígitos decimales de $n$ se divide por $9$ . Así, la raíz digital de nuestro producto es $8$ .

Answer 2

La raíz digital de $n$ se repite con punto $9$ a saber $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ldots$ por lo que las raíces digitales de un par primo gemelo deben ser $(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8), (7, 9)$ o $(8, 1)$ . Sin embargo, dado que la raíz digital de un número primo mayor que 3 no puede ser $3, 6$ o $9$ que deja $(2, 4), (5, 7)$ o $(8, 1)$ . (adaptado de una publicación de David Radcliffe en un debate del grupo de Teoría de Números de LinkedIn)

Y aquí hay un enlace a una prueba que contextualiza la secuencia de raíces digitales de los primos gemelos: http://www.primesdemystified.com/twinprimesdigitalrootproof

Answer 3

Mi enfoque es similar, pero menos elegante. Aun así, si te sirve de algo, me alegro.

En primer lugar, tienes razón al sospechar que hay algo especial en $3 \times 5$ . Esto se debe a que cualquier número cuya raíz digital sea igual a $3$ , $6$ o $9$ es divisible por $3$ y por lo tanto debe ser compuesto, a menos que ese número sea $3$ (o $-3$ pero para este tema no ganamos mucho considerando números negativos, así que los ignoraré a partir de este punto). Y no consideramos $1$ primo ya (aunque soy tan viejo que me enseñaron lo contrario), así que $3 \times 5$ es el único caso para el que uno de los primos tiene una raíz digital igual a $3$ .

Esto nos deja tres casos a considerar:

• $2 \times 4 = 8$ por ejemplo, $11 \times 13 = 143$
• $5 \times 7 = 8$ por ejemplo, $5 \times 7 = 35$
• $8 \times 1 = 8$ por ejemplo, $17 \times 19 = 323$ .

(Recuerda que puedes multiplicar raíces digitales directamente).