Cómo calcular $\lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}}$

Question

Cómo podría resolver el siguiente límite

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}}$

¿Existe una forma intuitiva de resolverlo?

No tengo ni idea de cómo empezar. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Utiliza el teorema del apretón:

$$0<\frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}}<\frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n))^{n+1}}=\frac1{\ln(n)}\to0$$

Answer 2

pista

$$\ln (n+1)=\ln (n)(1+\frac {\ln (1+\frac {1}{n})}{\ln (n)}) $$ $$=\ln (n)(1+\phi (n)) $$ y $$(1+\phi (n))^{-n}=e^{-n\ln (1+\phi (n))}$$

$$\ln (1+\phi (n))\sim \phi (n) $$

$$n\phi (n)\sim \frac {1}{\ln (n)} $$ el límite es $$1/\infty=0.$$

Answer 3

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\ln(n))^n}{(\ln(n+1))^{n+1}}\\ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}\right)^n\left(\lim_{n \to \infty}\frac 1{\ln(n+1)}\right) $

$\left(\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}\right)<1$ para todos $n>0$

$\lim_{n \to \infty}\frac 1{\ln(n+1)} = 0$