Resolver $3^x = 2^y + 1$ con $x,y \in \mathbb{N}^2$

Question

Considero la siguiente ecuación

$$ 3^x = 1 + 2^y \tag{$ \N - La estrella $} $$

con $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ y $y \geq 3$ .

Me gustaría demostrar que :

$$ 3^x \equiv 1 \; [2^y] \; \Leftrightarrow \; 2^{y-2} \mid x. $$

Supongo que $3^x \equiv 1 \; [2^y]$ . Escribir

$$ 3^x = \sum_{k=0}^{x} C_{x}^{k} 2^k = 2^x + x 2^{x-1} + \ldots + 2x + 1 $$

Tengo eso $3^x \equiv 1 \; [2^y]$ es equivalente a :

$$ 2^x + x 2^{x-1} + \ldots + 2x \equiv 0 \; [2^y]. $$

Esto también equivale a :

$$ 2^{x-1} + x 2^{x-2} + \ldots + x \equiv 0 \; [2^{y-1}]. $$

Entonces, no estoy seguro de cómo proceder. Me gustaría asumir que $x > y$ y entonces, se seguiría que $2^{x-1} \equiv 0 \; [2^{y-1}]$ . Por lo tanto, terminaría con :

$$ x \big( 2^{x-2} + \ldots + 1 ) \equiv 0 \; [2^{y-1}]. $$

Desde $\operatorname{gcd}\big( 2^{y-1}, 2^{x-2} + \ldots + 1 \big) = 1$ se deduce que $2^{y-1} \mid x$ . Pero este no es el resultado esperado. ¿Dónde he cometido un error?

Answer 1

En primer lugar $x$ no puede ser mayor que $y$ , ya que entonces obviamente $3^x > 1 + 2^y$ .

Otra forma de resolver la cuestión es observar que si $y \ge 2$ entonces $x$ es par, porque $4 \mid 2^y = 3^x - 1$ . Por lo tanto, si $x=2k$ que tenemos:

$$2^y = 3^{2k} - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1)$$

Pero ahora $\gcd(3^k - 1, 3^k + 1) = 2$ y de la ecuación anterior debemos tener $3^k - 1 = 2$ y $3^k + 1 = 2^{y-1}$ . De la primera ecuación podemos concluir $k=1$ y así $x=2$ y al introducir la segunda obtenemos $y=3$ . Estas son las únicas posibilidades para $y \ge 2$

Ahora mira el caso $y=1$ por separado y se obtendrá otra solución, a saber $x=1; y=1$

Answer 2

Me gustaría demostrar que :

$$ 3^x \equiv 1 \; [2^y] \; \Leftrightarrow \; 2^{y-2} \mid x. $$

Para demostrarlo, utilizaría que, para cada par de enteros positivos $(a,s)$ donde $s$ es impar, existe un entero impar $t$ tal que

$$3^{2^as}-1=2^{a+2}t\tag1$$

(las pruebas están escritas al final de la respuesta)

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Prueba para $2^{y-2}\mid x\implies 3^x\equiv 1\pmod{2^y}$

Si $2^{y-2}\mid x$ Entonces, a partir de $(1)$ , $3^{x}-1$ es divisible al menos por $2^y$ . $\quad\blacksquare$

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Prueba para $3^x\equiv 1\pmod{2^y}\implies 2^{y-2}\mid x$

Es fácil ver que $4\not\mid 3^{\text{odd}}-1$ .

La afirmación se desprende de esto y $(1)$ . $\quad\blacksquare$

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Por último, demostremos $(1)$ por inducción en $a$ .

Para $a=1$ tenemos $3^{2s}-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod{2^3}$ . Además, escribir $s=2u+1$ tenemos $$3^{2s}-1=9^{2u+1}-1=9\cdot 81^u-1\equiv 9-1\equiv 8\pmod{2^4}.$$

Supongamos que $(1)$ se mantiene para algunos $a$ .

Entonces, tenemos $$3^{2^{a+1}s}-1=(3^{2^as})^2-1=(2^{a+2}t+1)^2-1=2^{2a+4}t^2+2^{a+3}t=2^{a+3}t'$$ donde $t'$ es impar. $\quad\blacksquare$