Representación simultánea de coordenadas de un submanifold y de su submanifold

Question

Supongamos que $Z\subset X\subset Y$ son colectores y $z \in Z$ . Demostrar que existe una función independiente $g_1,...g_l$ en un barrio $W$ de $z$ en $Y$ tal que

$$Z \cap W =\{y\in W:g_1(y)=0,...g_l(y)=0\}$$

y $$X \cap W =\{y\in W:g_1(y)=0,...g_m(y)=0\}$$

donde $l-m= \text{codim}\ Z= \dim X- \dim Z$

Sé que $X$ es múltiple, que hacen $Z$ es $X$ y cualquier sub-manifold de $X$ pueden ser recortados localmente por funciones independientes.

Si dejo que $Z$ sea un submanifold de codim $l-m$ entonces habrá $l-m$ funciones independientes $g_1,...g_{l-m}$ en un barrio $W$ de $z$ en $Y$ tal que $Z \cap W$ es el conjunto común de fuga de $g_i$

Lo mismo para $X$ , dejemos que $X$ tiene codimensión $m$ en $Y$ entonces habrá $m$ funciones independientes $g_1,...g_{m}$ en un barrio $W$ de $z$ en $Y$ tal que $X \cap W$ es el conjunto común de fuga de $g_j$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

SUGERENCIA: Un enfoque es aplicar el Teorema de Inmersión Local de Guillemin/Pollack dos veces: primero para $X$ y, a continuación, trabajar localmente en la parametrización adecuada de $X$ a la inclusión $Z\hookrightarrow X$ .

EDIT: Así que el Teorema de Inmersión Local nos dice que podemos elegir coordenadas locales $(x_1,\dots,x_k)$ en $X$ y $Z$ para que el mapa de inclusión $f\colon Z\hookrightarrow X$ es de la forma $$f(x_1,\dots,x_{k-\ell}) = (x_1,\dots,x_{k-\ell},\underbrace{0,\dots,0}_{\ell \text{ zeroes}}).$$ (Si te fijas en la demostración del teorema, una vez que hemos elegido las parametrizaciones de $Z$ y $X$ sólo cambiamos la parametrización de $X$ para lograr este objetivo). Ahora apliquemos el teorema a la inclusión $f'\colon X\hookrightarrow Y$ eligiendo las coordenadas locales $(y_1,\dots,y_{k+m})$ en $Y$ para que $$f'(x_1,\dots,x_k) = (x_1,\dots,x_k,\underbrace{0,\dots,0}_{m \text{ zeroes}}).$$ Así, en estas coordenadas, tenemos funciones $g_i(y_1,\dots,y_{k+m}) = y_i$ , $i=k+1,\dots,m$ para que $X$ se define por $g_{k+1}(y)=g_{k+2}(y)=\dots=g_{k+m}(y)=0$ . Y $Z$ se corta por el $\ell$ ecuaciones adicionales $g_{k-\ell+1}(y) = \dots = g_k(y) = 0$ .