Sobre la definición de conjunto infinito de Tarski

Question

Hasta donde yo sé, la definición de Tarski de conjunto infinito es:

Un conjunto $X$ es Tarski infinito si existe un subconjunto no vacío subconjunto $S\subset P(X)$ tal que para cada $A \in S$ existe $B \in S$ con $A \subsetneq B$ .

Creo que es lo mismo que la siguiente definición.

Un conjunto $X$ es Tarski infinito si para cada $A \in (P(X)-\{X\})$ existe $B \in (P(X)-\{X\})$ con $A \subsetneq B$ .

Y de forma similar para el conjunto finito,

Un conjunto $X$ es Tarski finito si existe $A \in (P(X)-\{X\})$ s.t. no hay $B \in (P(X)-\{X\})$ con $A \subsetneq B$ .

Creo que esto es más sencillo. Pero, ¿hay alguna razón para no definirlo así?

Answer 1

La definición que citas dice que el conjunto $X$ es Tarski-infinito si existe alguna cadena infinita estrictamente creciente $S$ de subconjuntos de $X$ . Su definición equivalente propuesta implica que todo subconjunto propio $A$ de $X$ puede extenderse a un subconjunto propio mayor de $X$ pero eso no funciona, porque un infinito $X$ tendrá subconjuntos que no pertenecen a ninguna cadena infinita estrictamente creciente : si se toma $X = \Bbb{N}$ y $A = X \setminus \{0\}$ entonces no hay subconjuntos de $X$ estrictamente entre $A$ y $X$ pero $X$ es infinito. En ese ejemplo, el conjunto $S = \{\{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \ldots\}$ da testimonio de la infinitud de $X$ según la definición de Tarski.