Si tengo un trapecio con un $4$ m y $8$ m de base que está parcialmente sumergida verticalmente en el agua para que la parte superior sea $2$ m por encima de la superficie y el fondo es $2$ m por debajo de la superficie; ¿cómo expreso la fuerza hidrostática contra un lado de la placa como una integral?
Respuesta
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Primero hay que encontrar una ecuación de área para la sección triangular del trapecio en la que la anchura aumenta de 4m a 8m, teniendo en cuenta que sólo nos interesa el área que está sumergida en el agua (2m).
Plantea la ecuación de forma que dividas la altura total (4m) por la anchura máxima de este tramo (2m ya que (8m - 4m)/2, hay 2m en cada lado). Esto es igual a la línea que va de la base a la superficie del agua (2 - x) dividida por a, que es la anchura en 2-x.
$$ \frac{2-x}{a} = \frac{4}{2} $$
Aislar por un: $$ a = \frac{2-x}{2} $$
Ahora podemos hallar el área del trapecio, que es la base sumada al doble de la anchura del triángulo (a), ya que el triángulo está en ambos lados del trapecio. Para encontrar el área, multiplicaremos todo eso por el cambio de altura, que es Δx.
$$ A = (4 + 2\cdot\frac{2-x}{2})\cdot\Delta x $$
La fuerza se calcula tomando la integral definida sobre el intervalo sumergido en el agua de la presión multiplicada por la gravedad, el cambio de profundidad (2-x) y la ecuación del área.
$$ F = \int_{0}^{2} pg(2-x)\text{d}A $$
Suponiendo que p = 1000 y g = 9,8, calculamos:
$$ F = 1000\cdot9.8\int_{0}^{2} (2-x)\frac{10-x}{2} $$ $$ F = 9800 [28/3] $$ $$ F = 91466.6667 N $$
