Grupo abeliano finito generado por elementos de orden máximo

Question

Estoy tratando de demostrar que un grupo abeliano finito $G$ está generada por elementos de orden máximo.

Puedo ver por qué sucede de una manera vaga e instintiva, pero sin una lógica real. Hasta ahora, he tratado de usar este lema:

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito y a sea un elemento de orden máximo en $G$ . Entonces cualquier elemento $b$ es tal que $|b|$ divide $|a|$ .

Entonces cada grupo cíclico generado por el elemento de orden máximo contiene exactamente 1 elemento de cada orden posible para un elemento del grupo. He intentado expandir desde esta idea en algunas direcciones pero no creo que sea el camino correcto ya que no va a ninguna parte.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias chicos.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito, entonces $G = \mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{n_k}$ para algunos $n_1|\cdots|n_k$ . Entonces claramente estos elementos $$\{(1,\cdots,1),(0,1,\cdots,1),(0,0,1,\cdots,1),\cdots,(0,\cdots,0,1)\}$$ son de orden máximo $n_k$ y generan $G$ .

Answer 2

Por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos existe una descomposición de $G$ como la suma directa $$\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$$ tal que $d_1|d_2| ... |d_n.$ Fije dicha descomposición y deje que $H = (\bigoplus_{i=1}^{n-1}\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z})\oplus0.$ El orden máximo de un elemento de $G$ es $d_n.$ Si $1$ es un generador de $C := (\bigoplus_{i=1}^{n-1}0)\oplus \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ y $f \in H,$ entonces $f + 1$ y $1$ ambos tienen orden $d_n.$ Se deduce que el subgrupo generado por los elementos maximales contiene cada elemento de $H$ y cada elemento de $C$ y por lo tanto es igual a $G.$

Answer 3

El exponente de un grupo finito $G$ es el menor número entero positivo $e$ tal que $x^{e} = 1$ para todos $x \in G.$ Cuando $G$ es abeliano, éste es también el orden máximo de un elemento de $G$ y sí ocurre como el orden de un elemento, como parece que sabes, ya que es equivalente al lema que mencionas. Ahora considera el caso de que $G$ es abeliana de exponente $e,$ y que $y$ sea un elemento de $G$ de orden $e.$ Dejemos que $\{x_{1},x_{2},\ldots x_{n} \}$ sea un conjunto generador de $G$ consistente en elementos de orden de potencia primo- tal conjunto generador existe (puede haber conjuntos generadores mucho más pequeños). Tenemos otro conjunto generador $\{y,x_{1},\ldots, x_{n} \}.$ Si cualquier $x_{i}$ es una potencia de $y,$ podemos eliminarlo del nuevo grupo electrógeno, y seguir teniendo un conjunto generador, por lo que podemos producir un conjunto generador $\{y,x_{1},\ldots, x_{m} \}$ posiblemente después de reetiquetar, de manera que cada $x_{i}$ tiene un orden de potencia primo, y no $x_{i}$ es una potencia de $y.$ Que el orden de $x_{i}$ sea potencia de un primo $p_{i}$ (el $p_{i}$ no tienen por qué ser distintos).

Si $e$ El orden de $y$ es una potencia de un primo $p,$ entonces cada $p_{i} = p.$ En ese caso, si $x_{i}$ tiene un orden menor que $e,$ entonces $x_{i}y$ todavía tiene orden $e$ . Así que en ese caso, nosotros obtenemos un nuevo conjunto generador, formado por todos los elementos de orden $e,$ al incluir $y$ e incluyendo cada uno de ellos $x_{i}$ de orden $e, $ pero sustituyendo $x_{i}$ por $x_{i}y$ siempre que $x_{i}$ tiene un orden menor que $e.$ Obsérvese que aún podemos recuperar cada $x_{i}$ utilizando este grupo electrógeno.

Supongamos entonces que $e$ no es una potencia principal. Si el orden de $x_{i}$ es menor que la potencia de $p_{i}$ dividiendo $e,$ entonces sustituimos $x_{i}$ por $yx_{i},$ que tiene orden $e.$ Si el orden de $x_{i},$ diga $e_{i}$ es igual a la potencia de $p_{i}$ dividiendo $e,$ entonces sustituimos $x_{i}$ por $x_{i}y^{e_{i}},$ que todavía tiene orden $e.$ Todavía podemos recuperar cada $x_{i}$ de este conjunto generador, por lo que seguimos teniendo un conjunto generador, pero esta vez, todos los generadores tienen orden $e.$

Answer 4

Dejemos que $x$ sea un elemento que no tenga orden máximo, y $y$ sea cualquier elemento que tenga orden $n$ que es el orden máximo.

Si el subgrupo $\langle x, y \rangle$ es un grupo cíclico, entonces su orden no puede ser mayor que el orden de $y$ y así $x \in \langle y \rangle$ .

Por lo demás, $\langle x, y \rangle$ es el producto de dos grupos cíclicos de orden $m,n$ . Hay un elemento de orden $\operatorname{lcm}(m,n)$ , por lo que tenemos $m | n$ . Podemos elegir generadores $a,b$ de los dos grupos. A continuación, $(a,b)$ y $(0,b)$ son dos elementos de orden máximo, y $x$ está en el subgrupo generado por ellos.

Answer 5

Sea a un elemento de orden primo tal que no pertenezca al subgrupo de G generado por todos los elementos maximales entonces ab no pertenece al conjunto de los generadores de elementos maximales para algún b de elementos maximales.