¿Es posible que un coset izquierdo de $H$ contenga más de un coset derecho de $H$?

Question

Sea $H$ un subgrupo del grupo $G$.

¿Es posible que un coset izquierdo de $H$ contenga más de un coset derecho de $H$?

Para mí está claro que la respuesta es "no" si tratamos con grupos finitos.

Answer 1

Sí, es posible.

Por ejemplo, deje $G=\langle x,y: y^{-1}xy=x^2\rangle$ y $H=\langle x^2\rangle$.

Entonces $\langle x\rangle = H\cup Hx$, así $H=y^{-1}Hy\cup y^{-1}Hxy$, y así $yH=Hy\cup Hxy$.

Obtendrá un ejemplo similar de cualquier grupo $G$ con un subgrupo $H$ que está correctamente contenido en algún conjugado de $H$.