¿Cómo sabemos que la composición de los morfismos está definida?

Question

Esta es la siguiente definición de una categoría con la que estoy trabajando, que ha sido parafraseada de Introducción a los Múltiples Topológicos por John Lee

Una categoría $C$ consiste en lo siguiente

• una clase $\text{Obj}(C)$ cuyos elementos se denominan objetos de $C$
• una clase $\text{Hom}(C)$ cuyos elementos se llaman morfismos de $C$

con las siguientes propiedades

• para cada morfismo $f \in \text{Hom}(C)$ existen dos objetos $X, Y \in \text{Obj}(C)$ llamado el origen y el destino de $f$ respectivamente
• para cada triple $X, Y, Z$ de objetos en $C$ existe un mapeo $\varphi$ llamada composición: $$\varphi: \text{Hom}_C(X, Y) \times \text{Hom}_C(Y, Z) \to \text{Hom}_C(X, Z)$$ definido por $\varphi(f, g) = g \circ f$ , donde $\text{Hom}_C(X, Y)$ denota la clase de todos los morfismos con origen $X$ y el objetivo $Y$ .

Ahora bien, la última propiedad es la que me confunde un poco. La cuestión más evidente es que ¿cómo sabemos que la composición de morfismos está definida para cada $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ y $g \in \text{Hom}_C(Y, Z)$ ? ¿Es algo que tenemos que demostrar, al probar que algo es una categoría?

La segunda cosa que me confunde es por qué necesitamos definir este mapeo entre $\text{Hom}_C(X, Y) \times \text{Hom}_C(Y, Z)$ y $\text{Hom}_C(X, Z)$ ? Parece un montón de problemas para pasar, especialmente teniendo en cuenta que estamos trabajando con clases en lugar de conjuntos.

¿Por qué no podríamos, en cambio, decir para cada uno $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ y cada $g \in \text{Hom}_C(Y, Z)$ existe un $h \in \text{Hom}_C(X, Z)$ tal que $h = g \circ f$ ? (*)

Mi opinión es que probar la existencia de este mapeo $\varphi$ llamada composición para una categoría determinada $C$ requiere implícitamente la condición del último párrafo y la condición de que la composición de morfismos esté bien definida.

Pero aun así, si utilizamos lo que digo en el párrafo (*) en lugar de tener que considerar $\varphi$ también tendríamos que comprobar que la composición de morfismos está definida y sería más sencillo, creo, que tener que trabajar con $\varphi$ .

Answer 1

Has tergiversado la definición de varias maneras. Lo más importante es que lo siguiente es incorrecto:

Una categoría $C$ consiste en lo siguiente

• una clase $\text{Obj}(C)$ cuyos elementos se denominan objetos de $C$
• una clase $\text{Hom}(C)$ cuyos elementos se llaman morfismos de $C$

con las siguientes propiedades

Una categoría sí no se compone simplemente de estas dos clases. Es también consiste en las operaciones de origen, destino y composición que se mencionan a continuación. Por ejemplo, la operación fuente es una función (de clase) $\operatorname{Hom}(C)\to\operatorname{Obj}(C)$ , llevando cada morfismo a su objeto de origen. La operación de composición es realmente una función de clase que para cada triple $(X,Y,Z)\in\operatorname{Obj}(C)$ produce una función $\varphi_{(X,Y,Z)}:\text{Hom}_C(X, Y) \times \text{Hom}_C(Y, Z) \to \text{Hom}_C(X, Z)$ .

Por tanto, la existencia de la composición no es algo que se "demuestre", sino que forma parte de los propios datos de una categoría en primer lugar, de modo que ni siquiera se ha definido una categoría "candidata" (que luego se comprobaría que satisface los axiomas necesarios) hasta que se ha escrito la operación de composición. Es como si para definir un grupo no sólo se definiera un conjunto, sino que también hay que definir la operación de grupo. Sólo cuando se tiene el conjunto y la operación de grupo se puede verificar si satisface los axiomas de grupo.

Para ser claros, la operación de "composición" en una categoría no tiene por qué tener ninguna relación con la composición habitual de funciones. La ecuación $\varphi(f,g)=g\circ f$ es la definición del símbolo $\circ$ , no de $\varphi$ . La función $\varphi$ se especifica como parte de los datos de la categoría, y luego $g\circ f$ es una notación que solemos utilizar en lugar de $\varphi(f,g)$ . Así que $\circ$ no denota la composición de funciones ni ninguna otra operación predefinida bajo la cual se supone que su categoría está "cerrada"; es sólo una notación para escribir la operación que forma parte de la propia categoría.

Answer 2

Ahora bien, la última propiedad es la que me confunde un poco. La cuestión más evidente es que ¿cómo sabemos que la composición de morfismos está definida para cada $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ y $g \in \text{Hom}_C(Y, Z)$ ? ¿Es algo que tenemos que demostrar, al probar que algo es una categoría?

Sí, si vamos a probar dos clases $O = \operatorname{Obj}C, H = \operatorname{Hom}C$ consisten en una categoría, debemos especificar los mapas de origen y destino $\mathrm{dom,cod}\colon H\to O$ y todos $\varphi$ s (y por último, demostrar que $\varphi$ s es asociativo, y que hay morfismos de identidad).

Entonces, $\varphi$ s definir composición de morfismos. No estoy seguro de la razón por la que la cita dada lo afirma de forma tan poco clara:

< > definido por $\varphi(f, g) = g \circ f$

ya que es evidente que no hay $\circ$ mencionado de antemano. Por la misma razón (*) tampoco está definido.

Existen otras fórmulas: por ejemplo, se podrían combinar todos los $\varphi$ s en una operación parcial y declarar algún equivalente de "composición definida" para ella, pero después de eso todos los trabajos son los mismos.