Si ${z_{n}}$ secuencia de números complejos converge a $z$ . Hace ${Arg(z_{n})}$ convergen a Arg(z)?

Question

Si ${z_{n}}$ secuencia de números complejos converge a $z$ . Hace ${Arg(z_{n})}$ convergen a Arg(z)?

¿Cómo demostrarlo? Tomé $ Arg(z_{n})=\tan^{-1}(Im(z_{n})/Re(z_{n}))$ Mi prueba se basa en la continuidad de $arctan$ función. ¿Cómo se demuestra utilizando la definición de convergencia? Tengo una duda considera $z_{n}= 1+\frac{e^{(/4)}}{n}$ Si $n$ es par y $z_{n}= 1+\frac{e^{(-/4)}}{n}$ si $n$ es impar . ¿En este caso cómo se mantiene este resultado? $Arg(z_{n})$ es una secuencia oscilante, ¿no? Por favor, ayúdame.

Answer 1

$Arg(z_n)$ no converge necesariamente a $Arg(z)$ .

Por ejemplo, tomando la secuencia $z_n = -1 - (1/n)i$ . $z_n\to -1$ y $Arg(-1) = \pi$ mientras que $Arg(z_n) \to -\pi$ .

(Suponiendo que arg se tome en el rango habitual $(-\pi,\pi]$ )

Answer 2

Para una secuencia $\{z_n\}$ convergiendo a $z$ no es cierto en general que $Arg(z_n)$ converge a $Arg(z)$ .

Tome cualquier secuencia que converja a $0$ por ejemplo $z_n= \dfrac{1}{n}$ . En esta situación, $Arg(z_n)=0$ pero $Arg(0)$ no está definido.

Answer 3

Sí, siempre que z $\not=$ 0 y Argz $\not=O $ Así que $Argz=\theta\in (0,2\pi) $ . Porque habría un sector que contiene z con $z_n $ quedando fuera del sector para grandes n... Se podría tomar una bola centrada en z y dentro del sector, fuera de la cual la sucesión se queda para n grande, contradiciendo la convergencia. .. creo que tal región se llama dominio de la hendidura ...