Encontrar el máximo y el mínimo de $\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}$$\sum_{i=1}^nx_i^2=1$.

Question

Encontrar el máximo y el mínimo de

$$ \sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $$ sujeto a $$ \sum_{i=1}^nx_i^2=1 $$ para todos los $n\in\mathbb{N}-\{1,0\}$.

Answer 1

Respuesta: max es $\displaystyle\cos{\frac{\pi}{n+1}}$, el mínimo es $\displaystyle -\cos{\frac{\pi}{n+1}}$.

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Puede ser utilizado multiplicador de Lagrange método.

Deje $\mathbf{x}=(x_1,x_2, \ldots,x_n)$.

Tenemos la función $f(\mathbf{x}) = x_1 x_2 + x_2x_3+\cdots + x_{n-1}x_n \rightarrow \max$,
y hemos condición de $g(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2+\cdots+x_n^2-1 = 0$.

Vamos a crear otra función $$ F(\mathbf{x},\lambda) = f(\mathbf{x}) + \lambda \cdot g(\mathbf{x}). $$

Si $F(\mathbf{x},\lambda)$ tiene extremo en algún lugar, entonces todas las derivadas parciales debe ser 0 aquí. Por lo tanto, tenemos (n+1) condiciones:

$ \left\{ \begin{array}{r} x_2 + 2\lambda x_1 = 0, \\ x_1 + x_3 + 2\lambda x_2 = 0, \\ x_2 + x_4 + 2\lambda x_3 = 0, \\ \cdots \\ x_{n-2}+x_n+2\lambda x_{n-1} = 0, \\ x_{n-1}+2\lambda x_n = 0; \\ x_1^2 + x_2^2+\cdots+x_n^2-1 = 0. \end{array} \right. $

Podemos considerar $\lambda$ como parámetro para la primera $n$ ecuaciones. A continuación, el sistema de primera $n$ ecuaciones lineales tiene 3-diagonal de la matriz

$M_n(\lambda) = \left( \begin{array}{cccccc} 2\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2\lambda & 1 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 2\lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2\lambda \\ \end{array} \right). $

Vemos que $\det M_1(\lambda) = 2\lambda$, $\det M_2(\lambda) = 4\lambda^2-1$,
$\det M_{n+1}(\lambda) = 2\lambda \det M_n(\lambda) - \det M_{n-1}(\lambda)$.
Es recurrente la fórmula para polinomios de Chebyshev de la segunda clase (por definición).
Así, por $\lambda_j = \cos(j\pi/(n+1))$ tenemos $\det M_n(\lambda_j) = \frac{\sin(j\pi)}{\sin(j\pi/(n+1))}=0$ donde $j=1,\ldots,n$.

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Es fácil ver que para $\lambda = \lambda_j$, $j=1,\ldots,n$, tenemos $\mathbf{x}_j = (x_{j1}, \ldots, x_{jn} )$, donde $x_{jk} = C_j \sin \frac{(n+1-j)k\pi}{n+1} $, $k=1,\ldots,n$.

Condición de $g(\mathbf{x}_j)=0$ implica $C_j = \sqrt{2/(n+1)}$.

$f(\mathbf{x}_j) = \cos \frac{(n+1-j)\pi}{n+1}$.

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Así, $\max\limits_{g(\mathbf{x})=0} f(\mathbf{x}) = \max\limits_{j=1,\ldots,n} \cos\frac{(n+1-j)\pi}{n+1} = \cos \frac{\pi}{n+1}$. (It is attained when $j = n$).

$\min\limits_{g(\mathbf{x})=0} f(\mathbf{x}) = \min\limits_{j=1,\ldots,n} \cos\frac{(n+1-j)\pi}{n+1} = \cos \frac{n\pi}{n+1} = -\cos \frac{\pi}{n+1}$. (It is attained when $j = 1$).

$\max\limits_{g(\mathbf{x})=0} |f(\mathbf{x})| = \cos \frac{\pi}{n+1}$. (obviamente).

$\min\limits_{g(\mathbf{x})=0} |f(\mathbf{x})| = \min\limits_{j=1,\ldots,n} \left|\cos\frac{(n+1-j)\pi}{n+1} \right| = $ $ \left\{ \begin{array}{cl} 0, & \mbox{when } n \mbox{ is odd}, (\mbox{ when } j=(n+1)/2) \\ \cos \frac{n\pi}{2n+2}, & \mbox{when } n \mbox{ is even}, (\mbox{ when } j=n/2 + 1). \end{array} \right. $

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Ejemplos:

$n=2$: $f_{max} = \cos{\frac{\pi}{3}}$, $$(x_1,x_2) = \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \sin{\frac{\pi}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}} \sin{\frac{2\pi}{3}}\right);$$

$n=3$: $f_{max} = \cos{\frac{\pi}{4}}$, $$(x_1,x_2,x_3) = \left( \sqrt{\frac{2}{4}} \sin{\frac{\pi}{4}}, \sqrt{\frac{2}{4}} \sin{\frac{2\pi}{4}}, \sqrt{\frac{2}{4}} \sin{\frac{3\pi}{4}} \right);$$

$n=4$: $f_{max} = \cos{\frac{\pi}{5}}$, $$(x_1,x_2,x_3,x_4) = \left( \sqrt{\frac{2}{5}} \sin{\frac{\pi}{5}}, \sqrt{\frac{2}{5}} \sin{\frac{2\pi}{5}}, \sqrt{\frac{2}{5}} \sin{\frac{3\pi}{5}}, \sqrt{\frac{2}{5}} \sin{\frac{4\pi}{5}} \right);$$

$n=5$: $f_{max} = \cos{\frac{\pi}{6}}$, $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = \left( \sqrt{\frac{2}{6}} \sin{\frac{\pi}{6}}, \sqrt{\frac{2}{6}} \sin{\frac{2\pi}{6}}, \sqrt{\frac{2}{6}} \sin{\frac{3\pi}{6}}, \sqrt{\frac{2}{6}} \sin{\frac{4\pi}{6}}, \sqrt{\frac{2}{6}} \sin{\frac{5\pi}{6}} \right);$$

$\cdots$

Answer 2

Sugerencia: Utilice multiplicador de Lagrange método.

Answer 3

Podemos escribir la expresión original como

$-1/r + (1/r)(\sum_{i=1}^{n}x_i^2+r\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1})$

Y completando los cuadrados obtenemos una secuencia $\{a_n\}$ con

$\sum_{i=1}^{n}x_i^2+r\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=\sum_{k=1}^{n-1}(\sqrt{a_k}x_k+\frac{r}{2\sqrt{a_k}}x_{k+1})^2$.

De

Secuencia $a_k=1-\frac{\lambda^2}{4a_{k-1}},\ k=2,3,\ldots,n$.

podemos recoger $r=\pm\frac1{\cos{\frac{\pi}{n+1}}}$ para el máximo y el mínimo. Queda por verificar podemos alcanzar la igualdad.