Pruébalo: $f(\cap_{i\in I}A_i)\subseteq \cap_{i\in I}f(A_i)$

Question

Pruébalo: $$f(\cap_{i\in I}A_i)\subseteq \cap_{i\in I}f(A_i)$$

dejar $$y\in f(\cap_{i\in I}A_i)$$

$$\exists x \in \cap_{i\in I}A_i: y=f(x)$$ $$\exists x \forall i\in I: x \in A_i: y=f(x)$$ $$\forall i\in I:y\in f(A_i)$$ $$y\in \cap_{i\in I}f(A_i)$$

¿Qué etapa no puede ser un movimiento iff?

Answer 1

La tercera y cuarta línea no necesitan ser una declaración iff. No debe haber una $x$ que se encuentra en cada $A_i$ , de tal manera que $y:=f(x)\in\cap_{i\in I}f(A_i).$ Simplemente tiene que haber un $x_i\in A_i$ con la propiedad de que $f(x_i)=y$ para todos $i\in I$ . Más concretamente:

$$\exists x\forall i\in I:x\in A_i:y=f(x)\Rightarrow\forall i\in I\exists x_i\in A_i:y=f(x_i)$$

Lo contrario no debe ser cierto, pero en ambos casos $y\in\cap_{i\in I}f(A_i)$ .

Answer 2

Dejemos que $y \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$ . Esto significa que para cada $i \in I$ hay $x_i \in A_i$ para que $y = f(x_i)$ . Por lo tanto, si, de alguna manera, podemos garantizar que todos los $x_i$ son los mismos, digamos $x_i = x$ para todos $i$ entonces $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$ y luego $y \in f \big( \bigcap_{i \in I} A_i \big)$ .

Ejercicio . Dejemos que $X$ y $Y$ sean conjuntos, $\{A_i : i \in I\}$ sea una familia de subconjuntos de $X$ y $f : X \to Y$ una función uno a uno. Demostrar que $f \big( \bigcap_{i \in I} A_i \big) = \bigcap_{i \in I} f(A_i)$ .

Answer 3

Supongamos que $f$ es una función constante y el $A_{i}$ son conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí. Entonces $f(\cap A_{i}) = f(\varnothing) = \varnothing$ pero $\cap f(A_{i}) =c$ , donde $c$ es el valor constante.