Representación visual del polinomio complejo

Question

Estoy haciendo un ejercicio sobre si un conjunto es abierto, cerrado, su interior, límite, etc en el plano complejo y he estado confiando en mi intuición geométrica y dibujando diagramas para obtener soluciones. Ahora he llegado a esta expresión:

$F = \{z: z^3-2z^2+5z-4 = 0\} $ y me puse a pensar que no hay realmente una imagen geométrica simple para este conjunto, ¿verdad? Digo esto porque tengo que tener en cuenta el hecho de que los valores complejos se componen de dos componentes por lo que no puedo salirme con la suya, por ejemplo, tratando de dibujar una curva como $y = x^3$ lo que habría sido mi primer pensamiento. Entonces, ¿cómo debería enfocar esto? Lo único que se me ocurre es que como el conjunto es igual a un valor fijo esto significa que es una especie de línea y como tal significa que el interior es emoty, el límite es la línea, es un conjunto cerrado.

Answer 1

Pues es un polinomio complejo de grado 3, para el que sabes que debe haber 3 soluciones. Lo único que tienes que comprobar es si alguna raíz es degenerada (múltiple). La respuesta es un conjunto de puntos discretos en el plano complejo.

Answer 2

Para ayudar a visualizar las cosas, sólo piensa en ello como dos curvas, escribiendo $z=a+bi$ y mirando las partes reales e imaginarias: $$-4 + 5 a - 2 a^2 + a^3 + 2 b^2 - 3 a b^2 = 0$$ $$5 b - 4 a b + 3 a^2 b - b^3=0$$ Cada una describe una curva en $\mathbb R^2$ para que tu curva compleja sea en realidad dos curvas reales.

Estas dos curvas sólo pueden cruzarse en tres puntos, como se muestra a continuación:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$