Expansión de Taylor de un análogo q de la distribución binomial negativa

Question

Dado $A,B \in \mathbb{Z}_+$ y $ 0 < t, q< 1$ Me gustaría calcular los coeficientes $c_n(q,A,B)$ en la expansión del producto $$\prod_{i=0}^{A-1} \prod_{j=0}^{B-1} \frac{1}{1-t q^{i+j}} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n t^n.$$ Como $q \rightarrow 1$ Esto devuelve la conocida fórmula $$\frac{1}{(1-t)^{AB}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{AB+n-1}{n} t^n$$ que tiene una rápida prueba enumerativa.

Hasta ahora he determinado que la mayor potencia de $q$ en $c_n(q,A,B)$ es $(A-1)(B-1)n$ menos que la mayor potencia de $q$ en el $q$ -coeficiente binomial $\binom{AB+n-1}{n}_q$ . ¿Puede alguien ver lo que estos $c_n$ ¿contar en la expansión del producto? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Hacer la sustitución (inofensiva) de $qt$ para $t$ y reescribir el producto como $\prod_{i=1}^A\prod_{j=1}^B (1-tq^{i+j-1})^{-1}$ . El coeficiente de $t^k$ es entonces $\sum_n T_{ABk}(n)q^n$ , donde $T_{ABk}(n)$ es el número de particiones planas de $n$ con un máximo de $A$ filas, como máximo $B$ columnas, y la traza (suma de los elementos de la diagonal principal) $k$ . Ver Combinatoria Enumerativa , vol. 2, Teorema 7.20.1.