¿Es toda topología abierta $d$ -equivalente a un complejo CW de dimensión $\leq d-1$ ?

Question

Dejemos que $M$ sea una zona topológica abierta conectada $d$ -manifold (sin límite).

Whitehead demostró que si $M$ tiene una estructura PL, existe un subcomplejo de dimensión $\leq d-1$ en el que $M$ La deformación se retrae.

¿Podemos aún encontrar un complejo CW homotópico equivalente de dimensión $\leq d-1$ cuando $M$ ¿no es PL?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\co}{H}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{C}$ $\newcommand{\zz}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\nn}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\A}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\B}{\mathcal{B}}$ $\DeclareMathOperator{\lf}{lf}$

Voy a elaborar una respuesta siguiendo las indicaciones de los comentarios. Por el resultado de Whitehead expuesto en la pregunta y la suavidad en dimensiones inferiores podemos suponer $d \geq 4$ . Escriba $\pi := \pi_1(M)$ para ser más breve.

Como ANR, M tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, así que por un resultado de Wall basta con demostrar que $\co^{j}(M; \A) = 0$ siempre que $j \geq d$ y $\A$ es un $\zz \pi$ -módulo. Escribir $w$ para la orientación $\zz \pi$ -por la dualidad de Poincaré tenemos $$\co^j(M;\A) \cong \co^{\lf}_{d-j}(M; \A \otimes_{\zz} w)\,,$$ donde $\co^{\lf}_{*}$ denota la homología singular localmente finita (a veces llamada homología de Borel-Moore). Por lo tanto, lo único no trivial que hay que comprobar es la desaparición de la homología localmente finita 0-ésima para cada $\zz \pi$ -Módulo $\B$ . Escribir $\tilde{M}$ para la cobertura universal de $M$ esto equivale a demostrar que la primera diferencial $$\partial_1 \otimes_{\zz\pi} \B \colon \ch^{\lf}_1(\tilde{M}) \otimes_{\zz\pi} \B \rightarrow \ch^{\lf}_0(\tilde{M}) \otimes_{\zz\pi} \B$$ del complejo de cadena singular localmente finito es suryente, para lo cual $\partial_1$ ser suryente antes de tensar es suficiente. Podemos verificar $\partial_1$ es sobreyectiva por medios elementales: Fijar una cadena 0 singular localmente finita $\sigma$ ; se apoya necesariamente en un subconjunto discreto de $\tilde{M}$ . Desde $\tilde{M}$ es no compacto (y segundo contable), podemos encontrar un subconjunto discreto contablemente infinito $$\{x_n : n \in \nn\} \subseteq\tilde{M}$$ que contiene el soporte de $\sigma$ . Así, $\sigma$ es una suma formal de la forma $$\sigma = \sum_{n \in \nn}a_n x_n$$ con $a_n \in \zz$ . Ahora, para cada $n \in \nn$ podemos encontrar un camino $\gamma_n : [0,1] \rightarrow M$ conectando $x_{n+1}$ a $x_{n}$ tal que la suma formal $$\tau := \sum_{n \in \nn}b_n \gamma_n$$ con los coeficientes $b_n := \sum_{j \leq n} a_j$ es una zona finita $1$ -cadena con $\partial_1(\tau) = \sigma$ .