Minimizar una expresión (sobre los enteros)

Question

En el contexto de los grupos y variedades de Hurwitz, se llega a lo que la wikipedia define como un hecho "notable", que $1-\dfrac1 a -\dfrac 1 b - \dfrac1 c > 0$ tiene un valor mínimo de $1/42$ si $a,b,c \in \mathbb{Z}$ y $a<b<c$ (No estoy seguro de que esta última parte sea necesaria, pero considerémosla de todos modos).

Me preguntaba cómo se puede resolver un problema de este tipo. Estoy totalmente perdido cuando veo problemas "sobre los enteros": En realidad, nunca aprendí ninguna técnica para abordar este tipo de problemas. Así que la pregunta es: ¿existe un método general adecuado para minimizar expresiones sobre los números enteros? Por supuesto, creo que no hay una manera estándar, pero estoy interesado en algunos ejemplos de cómo proceder, tal vez tomando esta expresión como base para los ejemplos.

Answer 1

Para este problema sólo se necesita un análisis inteligente del caso. Aumentar el valor de $a, b$ o $c$ hace que la suma de los recíprocos sea menor y, por tanto, aumenta la expresión del lado derecho. Así que necesitas los valores más pequeños que puedas conseguir.

$a=1$ deja el lado izquierdo negativo, y lo mejor que podríamos hacer con $a\ge 3$ sería establecer $a=3, b=4, c=5$ dándonos $\frac {13}{60}$ . Así que tenemos que probar $a=2$ para ver si podemos hacerlo mejor que esto.

La expresión se convierte entonces en $\frac12-\frac1b-\frac1c$ con $2\lt b \lt c$

Si $b\ge 4$ lo mejor que podemos hacer es $b=4, c=5$ , lo que nos da un valor de $\frac 1{20}$ .

Así que nos queda probar $b=3$ cuando nuestra expresión se convierte en $\frac16-\frac1c$ . El valor más bajo de $c$ para el que es positivo es $c=7$ y esto da el valor mínimo $\frac1{42}$ .