Fórmula de inversión de Fourier con truncamiento

Question

Dejemos que $f\in L^2(\mathbb{R})$ y denota $$s_N(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-N}^N\hat{f}(t)e^{ixt}dt.$$ Demostrar que $$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_\mathbb{R}|s_N(x)-f(x)|^2dx=0$$

Así que, $s_N(x)$ es el truncamiento de la fórmula de inversión de Fourier, y queremos demostrar que converge (en $L^2$ norma) a $f$ . ¿Cómo proceder?

Answer 1

Observe que $\hat{s}_N=1_{[-N,N]}\hat{f}$ (donde $1_{[-N,N]}$ denota la función característica de $[-N,N]$ ) de modo que, según Plancherel

$$ \| s_N -f\|_{L^2} = \| \widehat{s_N-f}\|_{L^2} = \| \hat{f}(1-1_{[-N,N]})\|_{L^2} $$

que claramente tiende a $0$ con $N$ .