¿Qué es una categoría de modelo de un $\infty$ punto de vista?

Question

Existen varios modelos de $\infty$ categorías se puede ver que tienen análogos en $\infty$ -teoría de las categorías. Por ejemplo:

• Cuasicategorías: $\Delta \subseteq \mathrm{Cat}_{(\infty, 1)}$ es (?) un generador denso, por lo que podemos ver $\infty$ -categorías como presheaves en $\Delta$
• Categorías enriquecidas de forma sencilla: El enriquecimiento simplificado es un sustituto del enriquecimiento en $\mathrm{Cat}_{(\infty, 0)}$
• Categorías simplificadas: Estos pueden ser vistos como los objetos de un paso intermedio hacia la adición de colimits de índice simple a $\mathrm{Cat}_{(1,1)}$
• Espacios segales completos: Parecen estar inspirados en los modelos de $\mathrm{Cat}_{(\infty, 0)}$ de las categorías definidoras del esbozo de límite finito
• Categorías relativas: Un par $(C,W)$ es una aproximación a la localización $C[W^{-1}]$ .

Sin embargo, no conozco una interpretación adecuada de un estructura del modelo .

Cada categoría de modelo es, en particular, una categoría relativa, por lo que se corresponden con $\infty$ -categorías. Pero eso no implica las fibraciones y cofibraciones.

Mi pregunta es si hay alguna noción en $\infty$ -que es análoga a equipar una categoría relativa con una selección de clases de fibraciones y cofibraciones.

Answer 1

Este es un comentario largo, que no aborda realmente la cuestión principal. En su lugar, doy algunos ejemplos en los que las fibraciones son una estructura de rigidez adicional que permite la "conmutatividad homotópica".

En todos los modelos simplificados para $(\infty, 1)$ -categorías que ha enumerado, sólo los objetos fibrantes de la respectiva estructura de categorías del modelo se comportan como "categorías débilmente enriquecidas en $\infty$ -groupoides". Dentro de este marco categórico (si se quiere, formalmente 2-categórico), hay una noción de localización $C[W^{-1}]$ de un $\infty$ -categoría $C$ con respecto a un sub- $\infty$ -categoría $W$ . Dada una categoría relativa $(C, W)$ es un teorema que el $\infty$ -localización $N(C)[N(W)^{-1}]$ modela la $\infty$ -categoría asociada a $(C, W)$ (véase, por ejemplo, el apéndice de Categorías y bicategorías marrones de Geoffroy Horel). Sin embargo, si $(C, W)$ no es fibrante, ni tampoco lo será su nervio relativo de Rezk, es decir $N^R(C, W)$ no es realmente un $\infty$ -categoría.

Supongamos ahora su categoría relativa $(C, W)$ tiene una estructura adicional de fibranciones que interactúa suavemente con las equivalencias débiles (por ejemplo, una categoría modelo), llamemos a dicha estructura una categoría de fibración . Lennart Meier demostró en Las categorías de fibración son categorías relativas fibrantes que cualquier categoría relativa de este tipo es fibrante en la estructura de categorías del modelo de Barwick-Kan y por tanto $N^R(C, W)$ es un $\infty$ -categoría que modela el $\infty$ -Localización categórica $N(C)[N(W)^{-1}]$ .

Esto es sólo el reflejo de algo que ocurre totalmente en el $\infty$ -mundo categórico. De hecho, en el capítulo 7 de Categorías superiores y álgebra homotópica Denis-Charles Cisinski estudia la $\infty$ -teoría de la localización de fibración $\infty$ -categorías . Dentro de este marco, tenemos la hermosa característica de que el $\infty$ -localización de una fibración $\infty$ -categoría tiene finito $\infty$ -(véase el apartado 7.5). Además, la identificación de los límites de homotopía y $\infty$ -puede enunciarse como un elegante teorema sobre una equivalencia de $\infty$ -(véase el teorema 7.9.8 y la observación 7.9.10).

La historia más larga cuenta que la fibración $\infty$ -se cierran por exponenciación, es decir, si $(C, W)$ es un fibrado $\infty$ -categoría y $I$ es un $\infty$ -categoría, entonces $\underline{\text{Hom}}(I, C)$ sigue siendo un fibrado $\infty$ -con equivalencias débiles a nivel de fibra $W_I$ . Si $(C, W)$ es sólo (el nervio de) una categoría de fibrado regular y $I$ (el nervio de) una categoría pequeña, entonces el $\infty$ -localización $\text{Fun}(I, C)[W_I^{-1}]$ equivale a la $\infty$ -categoría de funtores $\underline{\text{Hom}}(I, C[W^{-1}])$ . (Obsérvese que $(\text{Fun}(I, C), W_I)$ es una categoría relativa fibrante)

En el caso de que el fibrado $\infty$ -la categoría es en realidad un modelo $\infty$ -categoría, la teoría ha sido estudiada por Aaron Mazel-Gee, como dice Dmitri Pavlov en su bonita respuesta.

Answer 2

Se puede afirmar razonablemente que el análogo de las categorías modelo en el ámbito de las ∞-categorías son las ∞-categorías modelo, ver, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1412.8411 y otros trabajos de Aaron Mazel-Gee.

Las categorías relativas codifican una ∞-categoría, mientras que los datos adicionales de un modelo de estructura pueden ser vistos como la codificación de (digamos) elecciones de diagramas límite-colímite para los cuales los límites y los colímites se conmutan, o (más generalmente) elecciones de funtores adjunto izquierdo/derecho que preservan algunos límites/colímites específicos. Diferentes elecciones de estructuras de modelos producen diferentes límites/colímites conmutables. Esto se explica con más detalle aquí: ¿Por qué necesitamos categorías de modelos?

En el mundo de las ∞-categorías todavía hay que conmutar ∞-límites y ∞-colímites que no necesitan conmutar en general, o conmutar un ∞-límite más allá de un functor adjunto izquierdo, etc. Esto es lo que logran las estructuras ∞-modelo. Por lo tanto, las ∞-categorías modelo desempeñan el mismo papel en el ámbito de las ∞-categorías que las categorías modelo en el ámbito de las categorías 1.