Usando un universo fijo de Grothendieck $\mathcal{U}$ , suponiendo que $\mathbb{N} \in \mathcal{U}$ podemos definir $\mathbf{Set}^{\mathcal{U}}_c$ como la categoría de todo lo contable $\mathcal{U}$ -conjuntos y funciones entre ellos, haciendo $\mathbf{Set}^{\mathcal{U}}_c$ localmente $\mathcal{U}$ -pequeño. Y también podemos definir la contraparte de la clase $\mathbf{Set}_c$ como la categoría de todos los conjuntos contables y las funciones entre ellos. Entonces se me ocurrió una pregunta: ¿Es $\mathbf{Set}^{\mathcal{U}}_c$ realmente análoga a $\mathbf{Set}_c$ ? Estamos considerando $V$ -contable $\mathcal{U}$ -conjuntos, no los conjuntos que $\mathcal{U}$ dice que es contable. Pero esto no es un problema, ya que para un $\mathcal{U}$ -Ajustar $x$ , $\mathbb{N}^{x} \in \mathcal{U}$ por lo que no hay funciones "ocultas", por lo que " $x$ es contable" es absoluto entre $V$ y $\mathcal{U}$ . ¿Hay alguna otra propiedad interesante que sea absoluta entre $V$ y $\mathcal{U}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una condición suficiente para la absolutez entre un universo de Grothendieck y todo el universo es que la propiedad en cuestión pueda expresarse mediante una fórmula teórica de conjuntos en la que cada cuantificador sea limitado es decir, de la forma $\forall x\in t$ o $\exists x\in t$ donde el límite $t$ no puede mencionar $x$ (para evitar trampas como $\exists x\in\{x\}$ ), pero se le permite utilizar la operación de fijación de potencia. Además del "conjunto de funciones" $A^B$ como en la pregunta, esto incluiría, por ejemplo, la propiedad de ser un número cardinal.
(Esta absolutización no requiere toda la fuerza del "universo Grothendieck". Funciona para $V_\lambda$ siempre que $\lambda$ es un ordinal límite).
