Encuentre $\log (2-x)$ en potencias de x

Question

Encuentre $\log (2-x)$ en los poderes de $x$ .

Sé que así es como he llegado tan lejos, $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty } x^n$$ dado que $\left| x\right| <1$ . Ahora $$\begin{align}\frac{1}{2-x}&=\frac{1}{2} \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{x}{2}\right)^n \end{align}$$ Por lo tanto, trato de integrar

$$\begin{align} \int \frac{1}{2-x} \, dx&=-\log(2 - x)\\ \int \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n dx&= \frac{2^{-n-1} x^{n+1}}{n+1}\end{align}$$ Ahora multiplicando ambos lados por $-1$ Todavía no tengo la respuesta que es $$\begin{align}\ln(2-x)&=\ln(2)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{2^nn} & -2\leq x<2\end{align}$$

¿Podría alguien mostrarme los pasos?

Answer 1

Ya que en una vecindad del origen: $$\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n}=-\log(1-x)$$ que tenemos: $$\log(2-x)=\log 2+\log\left(1-\frac{x}{2}\right) = \log 2-\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n2^n}.$$

Answer 2

Considere la serie \begin{align} \frac{1}{2-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \end{align} Ahora esta serie se puede integrar de 0 a $x$ para obtener \begin{align} \int_{0}^{x} \frac{dt}{2-t} &= \int_{0}^{x} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ t^{n}}{2^{n}} \right) \, dt \\ \left[ - \ln(2-t) \right]_{0}^{x} &= \left[ t + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{2^{n} (n+1)} \right]_{0}^{x} \\ - \ln(2-x) + \ln(2) &= x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2^{n}(n+1)} \end{align} La serie puede ser ahora ligeramente modificada y se ve como: \begin{align} \ln(2-x) &= \ln(2) - x - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n-1} \, n} \\ &= \ln(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} \, n} \end{align}

Answer 3

Tenemos que $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty } x^n$$ dado que $\left| x\right| <1$ .

Desde $$\dfrac{d}{dx} \log(2-x) =-\dfrac{1}{2-x} $$ tenemos que transformar $-\dfrac{1}{2-x}$ de alguna manera en $\dfrac{1}{1-x}$ .

$$-\dfrac{1}{2-x}=-\dfrac{1}{2(1-\frac{x}{2})}=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{x}{2}}= -\dfrac{1}{2}\cdot \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{x}{2}\right)^n$$

Porque la serie $$\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{x}{2}\right)^n$$ es uniformemente convergente para $|\frac{x}{2}|<1 \Leftrightarrow x\in (-2,2)$ podemos integrar lo siguiente $$-\dfrac{1}{2-x}=-\dfrac{1}{2}\cdot \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{x}{2}\right)^n$$ y lo conseguiremos $$ \int_0^x \left(-\dfrac{1}{2-t}\right)dt = -\dfrac{1}{2}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\int_0^x \left(\frac{t}{2}\right)^n dt $$

Después de la integración obtenemos: $$\log(2-x)-\log2=-\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}$$

Digamos que $k=n+1$ entonces tenemos eso:

$$\log(2-x)=\log2-\sum _{k=1}^{\infty } \dfrac{x^{k}}{k\cdot 2^{k}}$$

O

$$\log(2-x)=\log2-\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac{x^{n}}{n\cdot 2^{n}}$$