Definición de una baldosa

Question

Me dieron la siguiente definición mientras intentaba demostrar que "si un grupo $G$ actúa libremente sobre un árbol, entonces $G$ es un grupo libre":

Elige un vértice arbitrario $v$ de un árbol $T$ y considerar la órbita de $v$ bajo la acción de $G$ . Desde $G$ actúa libremente sobre $T$ se deduce que los puntos de la órbita están en biyección con los elementos $G$ . Para cada elemento $g$ de $G$ , dejemos que $T_g$ denotan el conjunto de puntos $x$ para que la distancia $d(x,g\cdot v)$ es mínimo sobre todas las opciones de $g$ . En otras palabras, los puntos de $T_g$ son los puntos de $T$ que están más cerca a $g\cdot v$ que a cualquier otro punto de la órbita de $v$ .

Lo que no entiendo es por qué esos conjuntos no serían singleton.

Answer 1

Quizá la forma más fácil de explicarlo sea con un ejemplo. Dejemos que $T=(V,E)$ sea el árbol con conjunto de vértices los enteros $V=\mathbb{Z}$ y conjunto de bordes $E = \{(n,n+1)\mid n\in\mathbb{Z}\}$ - así que $T$ es básicamente los números reales en lo que respecta a las propiedades métricas. Sea $G = \langle \sigma\rangle$ donde $\sigma$ es la traducción a la derecha.

Entonces, para cualquier vértice, la órbita bajo la acción de $G$ incluye todos los vértices. Sea $v=0$ y nota que $\sigma^n(0) = n$ . El azulejo $T_{\sigma^0} = \{x\in T \mid \forall n,\: d(x,0) \leq d(x,n)\}$ . Es decir, todos los puntos que están más cerca de cero que cualquier otro vértice del gráfico. Pues eso es sólo el intervalo $T_{\sigma^0} = [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ . Es bastante fácil ver que $T_{\sigma^n} = [n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}]$ por cada $n$ .

Si sustituimos $G$ con el subgrupo $H = \langle \sigma^2 \rangle$ entonces las baldosas se harían más grandes (y serían de la forma $[n-1,n+1]$ ), porque ahora la órbita de cualquier vértice sólo alcanza la mitad de los puntos, por lo que hay más espacio entre los vértices cercanos y, por lo tanto, hay más puntos más cercanos a cualquier vértice particular en la órbita. En particular, las baldosas también cambiarán dependiendo de si nuestro vértice inicial es un entero par o impar.