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Análisis complejo: ¿por qué $\cos(3\theta)$ = $\cos^3\theta - 3\cos\theta \sin^2\theta$ .

Las fórmulas están recogidas en mi libro de texto, pero no están probadas. No hay nada en los párrafos anteriores que ofrezca alguna idea que no sea "esto podría demostrarse utilizando las propiedades básicas de los números complejos".

Sé que los números complejos se pueden expresar en términos de $\sin$ y $\cos$ pero normalmente son ambos. Si sólo tengo $\cos3 \theta$ No estoy seguro de cómo empezar.

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DonAntonio Puntos 104482

$$e^{3it}=\left(e^{it}\right)^3\iff \cos3t+i\sin3t=\left(\cos t+i\sin t\right)^3\iff$$

$$\cos3t+i\sin3t=\cos^3t+3i\cos^2t\sin t-3\cos x\sin^2t-i\sin^3t$$

y ahora sólo compara las partes reales en ambos lados.

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almagest Puntos 1994

La prueba sofisticada consiste en ampliar $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ por el teorema del binomio. La prueba poco sofisticada es el uso repetido de $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ y $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$ .

La primera funciona porque $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$ .

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Faiz Puntos 1660

Tenemos $$cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$$ y $$sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)$$ para todos $x,y\in \mathbb C$

De ello se desprende

$$cos(2x)=cos^2x-sin^2x$$

Ahora, tenemos $$cos(3x)=cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)=cos^3x-sin^2xcos(x)-sin(x)\cdot 2sin(x)cos(x)=cos^3x-3sin^2xcos(x)$$

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Narasimham Puntos 7596

Por la relación de Euler

$$ e^ { i\, 3 \theta } = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta $$

el LHS también se puede expresar como

$$ (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = (\cos 3\theta + i \sin 3\theta) $$

Expandir el LHS como una cúbica término a término:

$$ =\cos ^3 \theta + 3 \cos ^2 \theta \cdot i \sin \theta + 3 \cos \theta \cdot i^2 \sin ^2 \theta + i^3 \sin ^3 \theta $$

Para encontrar $ \cos 3 \theta $ igualar las partes reales (primer y tercer término ) y encontrar $ \sin 3 \theta $ igualar las partes imaginarias (segundo y cuarto términos). Podemos reconocer ese origen derivativo por aproximación polinómica de inmediato.

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BCLC Puntos 3223

Utilice la fórmula de Moivre en $e^{3it}$ :

$$\left(e^{it}\right)^3 = e^{3it} = e^{i(3t)}$$

Entonces:

$$e^{3it}=\left(e^{it}\right)^3=\left(\cos t+i\sin t\right)^3 \tag{1}$$

$$e^{3it} = e^{i(3t)} = \cos3t+i\sin3t \tag{2}$$

Expandiendo (1), obtenemos:

$$(1) = \cos^3t+3i\cos^2t\sin t-3\cos x\sin^2t-i\sin^3t$$

Compara ahora $(1)$ y $(2)$ deducir no sólo una fórmula para $\cos(3t)$ sino también una fórmula para $\sin(3t)$ .

Además, mira esta antigua revisión de una pregunta: https://math.stackexchange.com/revisions/2866072/2

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