Autoafirmación del Operador de Proyección

Question

¿Es correcto decir que el operador de proyección no es autoadjunto (hermitiano) si no es un operador de proyección ortogonal?

Answer 1

Un operador de proyección $P$ es por definición ortogonal si y sólo si

$\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle \tag 1$

para todos los vectores $x$ , $y$ Si (1) se vincula, entonces

$\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle = \langle P^\dagger x, y \rangle, \tag 2$

de donde

$Px = P^\dagger x, \tag 3$

o

$P = P^\dagger, \tag 4$

es decir, $P$ es autoadjunto. El argumento puede invertirse: (4) implica claramente (3); por tanto

$\langle Px, y \rangle = \langle P^\dagger x, y \rangle = \langle x, Py \rangle, \tag 5$

así que $P$ es ortogonal.

Como hemos demostrado que un operador de proyección es ortogonal si y sólo si es autoadjunto, concluimos que si $P$ no es ortogonal, entonces $P$ no es autoadjunto.